Trabajos Validos

2011
Dinámica de las oscilaciones: guía de estudio y de experimentación
con sensores
MARCO TEÓRICO DE LAS OSCILACIONES MECÁNICAS
Péndulo Simple
Un péndulo simple consiste de una masa m (casi siempre esférica para minimizar las pérdidas de
amplitud causadas por la fricción con el aire) suspendida por el extremo inferior de una cuerda de
longitud fija (si la masa tiene pequeñas dimensionesrespecto a la cuerda, la masa se considera puntual) .
Cuando la masa se retira de su posición de equilibrio y se deja bajo la acción de la gravedad terrestre,
inicia oscilaciones alrededor de su punto de equilibrio, que corresponde con la posición de mínima
energía potencial.
Para construir el modelo físico del sistema suponemos que las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo
de masa m sonel peso y la tensión en la cuerda, es decir, ignoramos la fricción y las posibles ondas de
presión emitidas por el aire circundante. También a medida que el péndulo oscila, la fuerza ejercida por
la masa en el extremo inferior cambia.
Ecuación de movimiento
De acuerdo a la segunda ley de Newton, en la masa oscilante se cumple: ⃗

⃗

⃗

⃗⃗

Utilizando coordenadas polares (r,) paradescomponer las fuerzas obtenemos:
(

)
(

)

Estas ecuaciones aparentemente simples son en realidad ecuaciones diferenciales no lineales pues
contienen las funciones
y
, que no son lineales en la variable .
Sin embargo podemos hacer una restricción a ángulos pequeños y utilizar la serie de Taylor de la función
, eliminando potencias iguales o superiores a 3, de forma que:

Profesor:Guillermo A. Rojas S.

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Dinámica de las oscilaciones: guía de estudio y de experimentación
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de donde la ecuación en el eje  toma la forma
La anterior ecuación es conocida como ecuación para pequeñas oscilaciones, la cual desde el punto de
vista matemático corresponde a una ecuación diferencial ordinaria porque no incluye derivadas
parciales, lineal puessolamente tiene términos lineales de la función incógnita (t), homogénea porque
no contiene un término que dependa del tiempo y que sea independiente de la función incógnita, y de
segundo orden en t pues el máximo orden de la derivada de la función es dos.
La linealidad y homogeneidad de la ecuación de movimiento para el péndulo simple, garantizada por la
suposición de pequeñas oscilaciones, implicaque la superposición lineal de dos soluciones será también
solución, principio conocido en física como principio de superposición. La solución de la ecuación de las
pequeñas oscilaciones tendrá la forma.
()

(

)

Conocida como la ecuación de un movimiento armónico simple (M.A.S).
Es importante resaltar aquí, que por ser la ecuación de orden dos, la solución tendrá dos constantes:
y ,que serán determinadas una vez fijadas las condiciones iniciales del problema. En (0), que
corresponde al ángulo en el tiempo inicial de observación del fenómeno y
velocidad angular inicial.

()

, que corresponde a la

Características de un movimiento armónico simple (M.A.S)
Se dice que un punto sigue un movimiento oscilatorio armónico simple (M.A.S) cuando tiene un
movimiento periódicode vaivén de un lado a otro de su posición de equilibrio con la misma amplitud y
en intervalos iguales de tiempo. Su posición en función del tiempo es una función sinodal en la forma:
()

(

)

Donde: , es la elongación, es decir, la posición en cualquier instante respecto de la posición de
equilibrio. A, es la amplitud del movimiento, es decir, el desplazamiento máximo de la partículaen
relación al punto de equilibrio. 0, es la frecuencia angular y se expresa en radianes/segundo. t, es el
tiempo (en segundos) que representa la variable independiente.
recibe el nombre de fase inicial e
indica el desplazamiento angular en relación al punto de equilibrio en el instante t = 0, o la posición
angular inicial de la partícula.
Debemos resaltar las siguientes características de...