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Álgebra Lineal en el contexto de Ingeniería Civil

ÁLGEBRA LINEAL EN EL CONTEXTO DE INGENIERÍA
CIVIL
Duarte Ramos Ramón Enrique
Universidad Autónoma de Sinaloa
Jesús Alfonso Riestra Velázquez
Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav IPN
Resumen
Los cursos y textos de Álgebra Lineal son muy abstractos y ofrecen, en el mejor de
los casos, problemas de aplicación muyartificiales, ajenos al área de conocimiento en
la que se van a aplicar; sostenemos que enfocando el curso de Álgebra Lineal en el
contexto en el cual se va a utilizar contribuiríamos a que el alumno se motive y a la
vez se vaya introduciendo a las materias específicas de ingeniería, como el Análisis
de Estructuras por ejemplo, materia de ingeniería civil donde existe un uso abundante
de sistemas deecuaciones y matrices.
En esta ponencia presentamos un problema de aplicación de los sistemas de
ecuaciones y matrices el cual consiste en un sistema estructural compuesto por 4
barras coplanares que cuelgan de un techo horizontal unidas a éste mediante
articulaciones; además están unidas entre sí mediante otra articulación (ver figura 1).
Se trata de encontrar las fuerzas axiales en las 4 barrascuando sometemos al
sistema estructural a dos cargas: una carga horizontal P1 y otra vertical P2, ambas
aplicadas en la unión común de las barras. Aplicando las condiciones de equilibrio de
la unión común se llega a A{N} ={P}, donde A es una matriz de 2×4 con los cosenos
directores de las barras, {N} una matriz columna 4×1 con fuerzas axiales de las
barras y {P} el vector columna 2×1 decargas aplicadas. Las relaciones de
compatibilidad geométrica conducen a At{δ } ={∆}, donde At es la transpuesta de A,
{∆} matriz columna de las deformaciones en las barras y {δ } el vector columna de las
componentes rectangulares del desplazamiento de la unión común. Por último, las
relaciones entre fuerzas axiales y deformaciones de las barras (ley de Hooke), nos
conducen a {N}=[k]{∆} donde [k]es una
y
matriz diagonal de 4×4 con kii= ki, la
constante elástica de la barra i.
Combinando adecuadamente estas tres
3
2
ecuaciones obtenemos la matriz {N}.
4
1

P1

O

x

P2
Figura 1 Problema de Navier: Sistema
estructural con 4 barras

Nuestra preocupación es la enseñanza
del Álgebra Lineal en el contexto en la
ingeniería civil. Es común que el
maestro de las materiasespecíficas de
ingeniería no incluya en sus cursos los
principios que subyacen a los algoritmos
y reglas prácticas empleados en la
solución de problemas; aunado a esto el
maestro de las materias básicas las
presenta en forma abstracta carente de
significado.

Álgebra Lineal en el contexto de Ingeniería Civil

El problema de Navier que presentamos en este trabajo se aborda en los cursosde Mecánica de Materiales ofreciendo una magnífica oportunidad de aplicar
Álgebra Lineal permitiéndonos
ilustrar ideas importantes de sistemas de
ecuaciones y matrices. Este problema se refiere a un sistema estructural
compuesto por 4 barras (puede ser cualquier número de barras) colgadas de un
techo y unidas a una articulación común, en donde se aplican dos cargas P y P2 ;
1
se pidedeterminar las fuerzas en las barras.
Las fuerzas internas N1,..,N4 de las barras pueden expresarse en función de las
cargas P1 y P2 mediante el equilibrio del punto O. En la figura 2 se muestran las
fuerzas que actúan en este punto; los signos negativos se deben a que las fuerzas
en las barras, las cuales estamos suponiendo positivas a compresión, en el nudo
aparecen de sentidos opuestos (terceraley de Newton).
Utilizando las
condiciones de equilibrio
( − N1 ) cos α1 + ( − N 2 ) cos α 2 + ( − N3 ) cos α 3 + ( − N 4 ) cos α 4 + P1 = 0
;
(1)
( − N1 ) cos β1 + ( − N 2 ) cos β 2 + ( − N3 ) cos β 3 + ( − N 4 ) cos β 4 + P2 = 0
ó en forma matricial
 N1 
 
 cos α1 cos α 2 cos α 3 cos α 4   N 2   P 
1
 cos β cos β cos β cos β   N  =  P  ,
1
2
3
4
3
 2

...