Transformación Lineal

Transformación Lineal
Definición:
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α,
T(u + v) = Tu + Tv
yT(αv) = αTv
Observaciones:
1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y unsubconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”.
Ejemplo:
Sea T: R2 → R3 definida por T Por ejemplo T
Entonces
T TPero
 T y  T
Así
T TT
De manera similar
T T T
Así, T es una transformación lineal de R2 en R3.

No toda transformación que parece lineal lo es en realidad. En álgebra ycálculo una función lineal es una transformación de R en R si y solo si la ordenada al origen es cero.

Representación Matricial
Definición:
Sea T: Rn → Rn una transformación lineal. Entonces existeuna matriz única de m×n, AT, tal que
Tx = ATx para toda x  Rn
La matriz AT se llama matriz de transformación de T.
Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, W un espacio vectorial real dedimensión m y T: V → W una transformación lineal. Sean B1 =  una base para V y B2 =  una base para W entonces existe una matriz única AT de m×n, tal que
(Tx)B2 = AT(x)B1
AT se denominarepresentación matricial de T respecto a las bases B1 y B2.
Ejemplo:
Se tiene T: R3 → R4 por T Encuentre AT.
T T y T Así AT = 

Ejemplo:
Se tiene T: R3 → R3 por T Encuentre AT.Como T T y T se tiene
AT = 
Ejemplo:
Se tiene T: P2 → P3 por (Tp)(x) = xp(x). Encuentre AT.

Utilizando las bases estándar B1 =  en P2 y B2 =  en P3, se tiene
(T(1)) = (x) = (T(x)) = (x2) =  y (T(x2)) = (x3) =  Así, AT = 

Núcleo e Imagen
Definición:
Si T: V → W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en V que T aplica hacia 0 se...