TRANSFORMACIÓN LINEAL

Transformación lineal
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Una aplicación de en es una transformación lineal si para todo par de vectores y para todo escalar .
Ejemplos de Trasformación lineal
Laaplicación que envía en (su conjugado) es una transformación lineal si consideramos a como un -espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos como -espacio vectorial, ya que.
Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la función identidad , que resulta una transformación lineal.
Las homotecias: con. Si k > 1 se denominan dilataciones, si k < 1 se denominan contracciones.Dada una matriz , la función definida como es una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer más abajo en el artículo), podemos concluir que cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita puede verse como multiplicar por una matriz.
Sea el conjunto de funciones continuas en y defínase mediante, ocurre que: y para .
Por lo tanto,se cumple qué y para todo y en y todo, así que es una aplicación lineal de en .

Propiedades de las trasformaciones lineales
Sean V y W espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se satisface que: Si T: es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de T de la siguiente manera:


Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjuntode todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un sub-espacio vectorial del dominio:
 dado que  (para probar esto, observar que).
Dados 
Dados Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. 
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.


Núcleo y Nulidad de una trasformación linealNúcleo:
Sean V, W espacios vectoriales sobre un cupón F y sea
El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la pre-imagen completa del vector nulo:


Nulidad:
Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea
La nulidad de T se define como la dimensión del núcleo de T:

Imagen y Rango de una trasformación lineal
Imagen:
Sean V, W espacios vectorial sobre un campo F y seaLa imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:

Rango:
Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea
El rango de T se define como la dimensión de la imagen de T:

Transformations lineales mediate matrices

Si V y W son K-espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, una transformación lineal f: V → W queda unívocamente determinadapor los n vectores de W que son los valores de f en una base cualquiera de V. Además, fijada una base de W, esta n vector queda determinados por medio de sus vectores de coordenadas en Km. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta información.



Programación lineal; solución geométrica
La programación lineal
Es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cualse resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales....