Transformaciónes geométricas






Transformaciones Geométricas

Geometría de la Inversión
























Contenido


Geometría de la inversión: breve introducción ………………………………….. Página 3
Definición……………………………………………………………………….. Página 3
La inversión Positiva y Negativa……………….. ……………………………….. Página 3
Circunferencia de inversión………………………………………………………. Página 4
Como determinarel inverso de un punto dada la c.p.d…………………… Página 5
Figuras Dobles…………………………………………………………….... Página 5
Rectas Antiparalelas………………………………………........................... Página 6
Como determinar el inverso de un punto conociendo
el centro y un par de puntos inversos……………………………………... Página 8
Como determinar el inverso de un punto conociendo
el centro y una circunferenciadoble……………………………………….. Página 9
Figura inversa de una Recta………………………………………………... Página 10
Figura inversa de una circunferencia……………………………………….. Página 11

Bibliografía

http://www.editorialdonostiarra.com/pdf/132_Tema4b_DIBUJO_TECNICO_II.pdf
http://mat.uab.es/~agusti/geoinvcas.pdf
http://gaussianos.com/las-propiedades-de-la-inversion-geometrica/













Transformaciones Geométricas
Geometría de la inversión

UnaTransformación es una operación geométrica que permite obtener una nueva figura de la dada originalmente. La figura que se obtiene se llama homólogo de la original.
La inversión es una transformación anamórfica e involutiva, anamórfica porque cambia la forma de la figura original e involutiva porque si a la figura obtenida (homólogo) se le aplica otra vez la misma inversión, se obtiene la figurainicial.
Además la inversión preserva la incidencia, es decir si dos curvas son tangentes o se cortan en un punto , sus inversas serán tangentes o se cortarán en el punto inverso de .

La Inversión

La inversión es una transformación puntual, en donde a todo punto se le hace corresponder otro (el inverso) alineado con el inicial y con el centro de inversión; de tal modo que:

OA.OA` = KDonde K es una constante llamada Potencia de inversión, A es el punto inicial, A` el inverso y O un punto fijado previamente llamado centro de inversión.

Inversión Positiva e Inversión Negativa:

Si K es un número positivo, un par de puntos inversos se hallan del mismo lado de O, tratándose de una Inversión positiva.

Si K es un número negativo, los puntos A y A` seencuentran uno a cada lado del centro, se dice entonces que la inversión es negativa.


Circunferencia de Inversión




La circunferencia de inversión cumple que:
1) Cada punto en el plano excepto el centro, tiene un solo inverso.
2) Cualquier punto perteneciente a la circunferencia de inversión es su propio inverso. (Puntos Dobles)
3) Si el punto esinterior a la circunferencia su inverso es exterior y viceversa.

Circunferencia de Puntos Dobles (c.p.d)

Dada una circunferencia en la que se cumpla que K > 0, los puntos dobles son los que distan del centro O, ya que . = K, que es la potencia de inversión.
Como los puntos se hallan a una distancia constante del centro de inversión, determinan una circunferencia cuyo centro es el de inversiónO y su radio la raíz cuadrada de su potencia ().
Esta circunferencia recibe el nombre de Circunferencia de puntos dobles (c.p.d.).

Si K < 0, la inversión no tiene c.p.d., lo cual es lógico ya que es un número que no tiene solución real.


Como determinar el inverso de un punto dada la c.p.d

Dado el punto A (exterior a la circunferencia), encontrar su inverso A`.
1) Se traza desde A unade las tangentes a la circunferencia
2) Se traza la recta OA
3) Desde el punto de tangencia M, se traza la perpendicular a la recta OA.
4) El punto A1 de corte de estas dos rectas es el inverso del punto A.


Dado el Punto B (interior a la circunferencia), encontrar su inverso B`.
1) Se traza una recta que pasa por O y por B....