Transformaciones Geométricas En 2D

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías [CUCEI]

Universidad de Guadalajara

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Realizado por: Gómez Andrade Abelardo

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
Se les llama de esta manera a las operaciones que se aplican a las descripciones geométricas de un objeto para cambiar su posición, orientación y tamaño. Véase el ejemplo de un diseño de un viajevirtual a lo largo de una construcción efectuada por un arquitecto.

TRANFORMACIONES BIDIMENSIONALES BÁSICAS TRANSLACIONES BIDIMENSIONALES
Se realiza mediante la inclusión de compensaciones en sus propias coordenadas de un punto o de un objeto, para generar nuevas posiciones de coordenadas. x´ = x + tx y’ = y + ty Donde tx y ty se llaman distancias de translación y a la tupla (tx,ty) se la llamavector de transición o de cambio.

TRANSLACIONES BIDIMENSIONALES
• Con vectores se tiene que: P’ es el vector de punto final P es el vector de punto original T es el vector de transición. P’ = P + T

TRANSLACIONES BIDIMENSIONALES
• La translación es un tipo de transformación de sólido rígido, ya que se mueve un objeto sin deformarle.

TRANSLACIONES BIDIMENSIONALES
• En el caso de laslíneas, la translación se puede realizar mediante la fórmula de transformación a cada uno de sus puntos extremos y redibujándola. • Para un polígono se añade un vector de translación a las posiciones de las coordenadas para cada vértice con lo cual se regera el polígono (se recomienda que se borre el dibujo original).

ROTACIONES BIDIMENSIONALES
• Los parámetros para esta transformación son elángulo de rotación Θ y una posición (xr,yr) llamado punto de rotación o de pivote, sobre el cual el objeto va a ser rotado. • Si Θ es positivo el giro es contrario a las manecillas de reloj. • Si Θ es negativo el giro es a favor de las manecillas de reloj.

ROTACIONES BIDIMENSIONALES

ROTACIONES BIDIMENSIONALES
• Con matrices resulta: P’ = R • P donde la matriz de rotación es

• Por otraparte, la rotación de un punto sobre una posición de pivote arbitraria (xr, yr) queda:

ROTACIONES BIDIMENSIONALES

ROTACIONES BIDIMENSIONALES

ROTACIONES BIDIMENSIONALES

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL
• Para alterar el tamaño de un objeto se le aplican transformaciones de escala. • Se realizan multiplicando las posiciones de las coordenadas de los píxels (x,y)por los factores de escala sxy sy para producir x´y y´ respectivamente.
x´= x • sx y’ = y • sy • P’ = S • P, donde los elementos de S toman valores positivos.

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL
Dependiendo de los valores de sx, sy se tiene: • Si son inferiores a 1 se reduce el objeto. • Si son mayores a 1 se alarga el objeto. • Si son iguales el cambio de escala es uniforme. • Si son diferentes el objeto se distorsiona. • Sillegaran a ser negativos, se obtiene la imagen reflejada sobre uno o ambos ejes de coordenadas.

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL
Los objetos transformados son tanto escalables como reubicables

Se puede controlar la localización de un objeto cambiando de escala y eligiendo una posición llamada punto fijo, que permanece sin cambios.

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL

La distancia desde cada vérticedel polígono al punto fijo se escala.

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL
• Se tiene que: x’ – xf = (x – xf) • sx y’ – yf = (y – yf) • sy • Reescribiendo las ecuaciones resultan: x’ = x • sx + xf (1 – sx) y’ = y • sy + yf (1 – sy) • Donde el segundo sumando en ambas coordenadas de esta última fórmula, son constantes.

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL
• Aplicar el escalamiento al triángulo formado porlos vértices P1 = (5,7), P2 = (14,5) y P3 = (8,16) con valores para los factores de escala de sx = 3 y sy = .7, considerando el punto fijo en las coordenadas Pf = (5,9).

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL

ESCALAMIENTO BIDIMENSIONAL

REPRESENTACIÓN MATRICIAL
• Muchas aplicaciones gráficas implican secuencias de transformaciones geométricas. • Una animación debiera requerir que un objeto sea...