TRANSFORMACION LA PLACE

TRANSFORMACIONES DE LAPLACE
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL
CURSO: Matemática III
Docente: Lic. Calla Salcedo, Omar
Integrantes:
Canales Ludeña, Yossely
Contreras Prada, Xiomy
Gil Castañeda, Leidy Paola





















DEDICATORIA
Dedicamos el presente trabajo
A Dios, por acompañarnos en cada paso que damos,
A nuestros padresquienes nos brindan su apoyo incondicional .










INTRODUCCION
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplicaLa transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Es un métodooperacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas parapredecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente












La transformada de Laplace



1. Concepto de la transformada de Laplace

Definici´on. Una funci´on u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de
Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral R ∞ e−st u(t) dt converge para s > a.En este caso, la transformada de Laplace de la funci´on u es la funci´on uˆ definida en el intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada s est´a dado por
Z ∞

uˆ(s) =
0
e−st u(t) dt. (1)



A veces conviene denotar la transformada de Laplace uˆ de u mediante L {u}. Recu´erdese que la integral impropia R ∞ e−st u(t) dt converge si la integral finita

R B st u(t) dt existe para todo B> 0 y si l´ım
B e−st u(t) dt existe y es finito.

0 e−
Entonces, por definici´on,
Z ∞

0





e−st u(t) dt = l´ım
B→∞
B→∞ R


Z B
e−st u(t) dt
0


Ejemplos.
(Funcion constante). La funci´on constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace

uˆ(s) = 1
definida en 0 < s < ∞. En efecto,




uˆ(s) =
Z ∞ Z B
e−st dt = l´ım
0 B→∞ 0

e−st dt = l´ım (−
B→∞e−sB
s
1 1
+ ) = ,
s s

para 0 < s < ∞. Se observa que la integral R ∞ e−st dt diverge para s ≤ 0.
(Funcion exponencial). La funci´on u(t) = eat tiene transformada de Laplace

uˆ(s) = 1
s−a
definida en a < s < ∞ . En este caso,



uˆ(s) =
Z ∞
e−st eat dt =
0
Z e(a−s)t dt = 1
0 s − a


para s > a.


(Funcion tn, n > 0 entero). La funci´on u(t) = tn(n > 0 entero) tiene transformada

de Laplace uˆ(s) = n!
definida en 0 < s < ∞.

Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos








para 0 < s < ∞.
Para n > 1, la integraci´on por partes da






Y aplicando esto repetidamente, obtenemos









Para 0 < s < ∞
(Funciones seno y coseno). Se tiene

s a
L {cos at}s2 + a2 , L {sen at} s2 +a2
para 0 < s < ∞, donde a = 0. Integrando por partes obtenemos






Y volviendo a integrar por partes,






Luego




De aqu´ı se obtiene la expresi´on para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresi´on para L {cos a t}.
(Funcion de Heaviside). La funci´on escal´on de Heaviside o salto unitario es la funci´on H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por

½ 0, t...