Transformaciones Isom Tricas Cepech

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Tutorial
MT-m1

Matemática 2006
Tutorial Nivel Medio
Transformaciones isométricas

Matemática 2006

Tutorial

Transformaciones isométricas
Marco Teórico

El proceso de llevar puntos de un lugar a otro se llama transformaciones. Si mantenemos las
distancias en una trasformación, estaremos hablando de transformaciones isométricas.
Lastransformaciones isométricas que revisaremos en esta guía son tres: traslaciones, rotaciones
y simetrías axiales (reflexiones).
1.

Traslaciones:

Son movimientos en los cuales los trazos de una figura se mueven
horizontalmente y/o verticalmente, conservando su pendiente con respecto a la horizontal
(no giran al trasladarse). En una traslación se observan varias propiedades:

Al trasladar el trazo AB a laposición A´B´ (como se observa en la figura 1), se verifica que:
1.1 AB = A´ B´
1.2 AB y A´ B´ son paralelos
B

Figura 1
B´
A

A´

Si trasladamos un polígono cualquiera, por ejemplo, un triángulo ABC a la posición A´B´C´
(como se observa en la figura 2), se verifica que:
1.3 AB = A´ B´ ∧ BC = B´C´ ∧ CA = C´ A´
1.4 AB ∧ A´ B´ son paralelos entre sí, BC ∧ B´C´ son paaralelos entre sí y CA ∧ C´ A´paralelos entre sí. Estos trazos se conocen como trazos homólogos.
1.5 AA´ ∧ B´ B´ ∧ CC´ son paralelos entre sí.
1.6 ∆ABC ≅ ∆A´ B´C´
2
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A

A´

Figura 2
B

C

B´

C´

Nota: En un plano cartesiano los movimientos de traslación suelen representarse en forma
de vectores.
Ejemplo1: La notación “T(1, -2)” significa que estoy representando el vector detraslación
(1, -2), es decir, que debo trasladar la figura en cuestión una unidad hacia la derecha (Eje de las
abscisas) y dos unidades hacia abajo (Eje de las ordenadas).
Ejemplo 2: La notación “T(2, 6)” significa que estoy representando el vector de traslación
(2, 6), es decir, que debo trasladar la figura en cuestión dos unidades hacia la derecha (Eje de las
absisas) y seis unidades hacia arriba (Ejede las ordenadas).
2.

Rotaciones: Son movimientos en los cuales los trazos de una figura se mueven un ángulo
dado respecto del plano. Además, la figura una vez trasladada es congruente con la figura sin
trasladar (como se observa en la figura 3). En el plano cartesiano se trabaja habitualmente
con rotaciones positivas (sentido antihorario) y con centro en el origen (punto (0,0)).

B´

Figura 3
A´
αB

A

Si rotamos un punto (x, y) en un plano cartesiano, con centro en el origen y en sentido
antihorario, los ángulos de rotación más comunes son:
Punto
(x, y)

ángulo

90º

180º

270º

360º

(-y, x)

(-x, -y)

(y, -x)

(x, y)

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3.

Simetrías axiales (reflexiones): Corresponde a “reflejar” una figura sobre una recta
perpendicular a launión de dos vértices homólogos. Esta recta se le conoce como el eje de
simetría (como se observa en la figura 4).

A´

A´

AA´es perpendicular con el eje
de simetría

Figura 4

Eje de simetría

Ejercicios
1. ¿Cómo varían las coordenadas de un punto (X, Y) al efectuar en un plano cartesiano, una
rotación positiva de 270º con centro en el origen?
A) (X, -Y)
B) (-X,Y)
C) (Y, -X)
D) (-Y, -X)
E) (-Y,X)
2. ¿Cómo varían las coordenadas de un punto (2, -5) al efectuar en un plano cartesiano, una
rotación positiva de 180º con centro en el origen?
A) (2, -5)
B) (-5, 2)
C) (2, 5)
D) (-2, -5)
E) (-2, 5)
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3. Si giro el triángulo ABC, cuyos vértices están ubicados en A(4,5) , B(6,9) y C(0,3) en un plano
cartesiano, en sentido antihorario y concentro en el origen 60º, luego 150º, después 90º,
luego 60º y, finalmente, 360º más, ¿cuál es su ubicación en el plano cartesiano?
A) A(4,5) , B(6,9) y C(0,3)
B) A(5,4) , B(9,6) y C(3,0)
C) A(-4,5) , B(-6,9) y C(0,3)
D) A(4,-5) , B(6,-9) y C(0,-3)
E) A(-5,-4) , B(-9,-6) y C(-3,0)
4. Si un punto F = (2, 4) se traslada a F´= (-7, 2), ¿qué vector traslación T(x, y) cambia F a F´?
A) T(9, 2)
B) T(-7,...