Transformación Bilineal
Páginas: 2 (339 palabras)
Publicado: 5 de noviembre de 2012
TRANSFORMACIÓN BILINEAL
Debido a que la transformada z transforma las franjas en el semiplano izquierdo del plano s al círculo unitario del plano z, los métodos de la respuesta enfrecuencia, que se ocupan del semiplano izquierdo del plano s, no se utilizan en el plano z. Así que para resolver este problema, se realiza una transformación de la función de transferencia en elplano z a su correspondiente en el plano w. Esta transformación se denomina transformación bilineal y está dada por:
z=1+T2w1-T2w
Resolviendo la ecuación anterior en función de w, se obtienela relación inversa:
w=2Tz-1z+1
Por medio de la transformada z y la transformada bilineal, las franjas del semiplano izquierdo del plano s son transformadas al interior del círculounitario del plano z y posteriormente a franjas del semiplano izquierdo del plano w. En otras palabras, la transformada bilineal hace corresponder el interior del círculo unitario del plano z con elsemiplano izquierdo del plano w. El resultado de estas transformaciones es que el plano s y el plano w son similares.
Cuando la función de transferencia G(z) ha sido transformada a G(w) pormedio de la transformación bilineal, se pueden aplicar las técnicas de diseño mediante la respuesta en frecuencia al diseño de los sistemas de control en tiempo discreto.
Ejemplo.Considerando la siguiente función de transferencia y un período de muestreo T=0.1s, obtener G(w).
Gs=1-e-Tss∙10s+10
Primero se obtiene G(z), aplicando la transformada z:Gz=1-z-1Z10ss+10=0.6321z-0.3679
A partir de la transformación bilineal, la cual está dada por:
z=1+T2w1-T2w=1+0.12w1-0.12w=1+0.05w1-0.05w
Se puede obtener G(w), evaluando z en G(z) como se muestra acontinuación:
Gw=GzZ=0.6321z-0.3679Z=0.63211+0.05w1-0.05w-0.3679=9.2411-0.05ww+9.241
Referencias
Ogata, K. (1996). Sistemas de Control en Tiempo Discreto. México: Prentice Hall Hispanoamericana.
Debido a que la transformada z transforma las franjas en el semiplano izquierdo del plano s al círculo unitario del plano z, los métodos de la respuesta enfrecuencia, que se ocupan del semiplano izquierdo del plano s, no se utilizan en el plano z. Así que para resolver este problema, se realiza una transformación de la función de transferencia en elplano z a su correspondiente en el plano w. Esta transformación se denomina transformación bilineal y está dada por:
z=1+T2w1-T2w
Resolviendo la ecuación anterior en función de w, se obtienela relación inversa:
w=2Tz-1z+1
Por medio de la transformada z y la transformada bilineal, las franjas del semiplano izquierdo del plano s son transformadas al interior del círculounitario del plano z y posteriormente a franjas del semiplano izquierdo del plano w. En otras palabras, la transformada bilineal hace corresponder el interior del círculo unitario del plano z con elsemiplano izquierdo del plano w. El resultado de estas transformaciones es que el plano s y el plano w son similares.
Cuando la función de transferencia G(z) ha sido transformada a G(w) pormedio de la transformación bilineal, se pueden aplicar las técnicas de diseño mediante la respuesta en frecuencia al diseño de los sistemas de control en tiempo discreto.
Ejemplo.Considerando la siguiente función de transferencia y un período de muestreo T=0.1s, obtener G(w).
Gs=1-e-Tss∙10s+10
Primero se obtiene G(z), aplicando la transformada z:Gz=1-z-1Z10ss+10=0.6321z-0.3679
A partir de la transformación bilineal, la cual está dada por:
z=1+T2w1-T2w=1+0.12w1-0.12w=1+0.05w1-0.05w
Se puede obtener G(w), evaluando z en G(z) como se muestra acontinuación:
Gw=GzZ=0.6321z-0.3679Z=0.63211+0.05w1-0.05w-0.3679=9.2411-0.05ww+9.241
Referencias
Ogata, K. (1996). Sistemas de Control en Tiempo Discreto. México: Prentice Hall Hispanoamericana.
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.