transformada de abel discreta

1) Demostración de la transformada de Abel:
∑ f(i).g(i) = f(n+1). ∑ g(i) - ∑ [ Δf(i) ∑ g(j) ]
1 ≤ i ≤ n 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ iPara llegar del lado derecho de la igualdad al lado izquierdo lo primero es hacer un cambio de variable: g  Δh, es decir, g(i) por Δh(i) y g(j) por Δh(j). Entonces queda:

f(n+1). ∑g(i) - ∑ [ Δf(i) ∑ g(j) ]
1 ≤ i ≤ n 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ i
. = f(n+1). ∑ Δh(i) - ∑ [ Δf(i) ∑ Δh(j) ]1 ≤ i ≤ n 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ i
Aplicando el Teorema Fundamental del cálculo de sumas:
= f(n+1).[h(n+1) – h(1)] - ∑ [ Δf(i) (h(i+1) –h(1)) ] 1 ≤ i ≤ n
Aplicando propiedad distributiva, y la Asociativa de sumatorias:
= f(n+1).h(n+1) – f(n+1)h(1) - ∑ Δf(i)h(i+1) + ∑Δf(i)h(1) 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ i ≤ n
Teorema Fundamental del Cálculo desumas otra vez:
= f(n+1).h(n+1) – f(n+1)h(1) - ∑ Δf(i)h(i+1) + h(1) [f(n+1)-f(1)] 1 ≤ i ≤ n
Propiedad distributiva otra vez:
=f(n+1).h(n+1) – f(n+1)h(1) - ∑ Δf(i)h(i+1) + h(1)f(n+1) - h(1)f(1) 1 ≤ i ≤ n
Restando los términos iguales:
= f(n+1).h(n+1) – ∑Δf(i)h(i+1) - h(1)f(1) 1 ≤ i ≤ n
Se pueden agrupar los terminos:
= f(n+1).h(n+1) - h(1)f(1) – ∑Δf(i)h(i+1) 1 ≤ i ≤ n
Los primeros 2 términos se pueden agrupar con el teorema fundamental de cálculo para sumas:
=...