Transformadas

Capítulo # 8

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Introducción:
La teoría de las transformadas o transformaciones de Laplace, conocida también con el nombre de cálculo operacional tiene gran importancia en el estudio de las ecuaciones diferenciales porque facilita de gran manera la resolución de las mismas debido a que prácticamente elimina el proceso de integración.
Definición:
Sea una función dedefinida para . La transformada de Laplace de , denotada por: , donde ““ frecuentemente se denomina operador de la transformada de Laplace el mismo es un operador lineal se define como una integral impropia tipo uno, primera especie, es decir:

Donde se supone, que el parámetro s es real. Se dice que la transformada de Laplace de existe cuando la integral impropia es convergente para algún valor des, caso contrario se dirá que la transformada de Laplace no existe.
Notación:
Cuando se indique con mayúscula una función de t, como La transformada de Laplace de dicha función se denotará por la correspondiente letra minúscula, es decir: Cabe hacer notar que la variable t representa al tiempo y s a la frecuencia, en ese sentido podemos decir que al aplicar la transformada de Laplace a unaecuación vamos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Ejem. 1 Hallar la trasformada de Laplace de las siguientes funciones por definición:
Continuidad Seccional o a Trazos:
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo si es posible partir el intervalo en un número finito de sub-intervalos de tal manera que la función sea continua en cada unode ellos y tenga límites laterales.
Funciones de Orden Exponencial:
Si existen constantes reales y tales que para todo

Se dice que es una función de orden exponencial cuando , o simplemente que es una función exponencial.
Condiciones Suficientes para la Existencia de la Transformada de Laplace:
Si es seccionalmente continua en cada intervalo finito de orden exponencial para , entoncesexiste la transformada de Laplace para todo .
Las condiciones establecidas son suficientes pero no necesarias para garantizar la existencia de la transformada de Laplace, por lo cual si estas condiciones no son satisfechas, la transformada de Laplace puede o no existir.
Propiedades de la Transformada de Laplace:
1. Linealidad:

Si son constantes con funciones cuyas transformadas de Laplace sonentonces:

ℒ

2. Primera Propiedad de Traslación:

Si ℒ entonces: ℒ

3. Segunda Propiedad de Traslación:

Si ℒ y entonces: ℒ

4. Propiedad de Cambio de Escala:

Si ℒ entonces: ℒ

5. Multiplicación por :

Si ℒ entonces: ℒ

6. División por t:

Si ℒ entonces: ℒ

7. Funciones Periódicas:
Sea una función con periodo tal que: entonces:
ℒ
8. Transformada de Laplace de las Derivadas:

Si ℒentonces: ℒ
Si ℒ entonces: ℒ
Si ℒ entonces:

ℒ

Si ℒ entonces:

ℒ

9. Transformada de Laplace de Integrales:

Si ℒ entonces: ℒ

Comportamiento de f(s) cuando :
Si ℒ entonces:

1. Teorema del Valor Inicial:

Si existen los límites indicados, entonces:


2. Teorema del Valor Final:

Si existen los límites indicados, entonces:


Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:

Nro.
F(t)
F(s)1
1

2


3


4


5


6


7


8


9


10



Métodos para calcular la Transformada de Laplace:
Existen varios métodos para calcular transformadas, entre estos tenemos:
1. Método Directo: Haciendo uso directo de la definición.

2. Mediante el uso de Tablas: Haciendo uso de las propiedades y tablas.
3. Método de las Ecuaciones Diferenciales: Consiste en hallar una ecuación diferencial que seasatisfecha por y aplicar luego las propiedades de las transformadas.

4. Método de las Series: Si se puede desarrollar mediante series de la forma:


Su transformada puede calcularse tomando la suma de la transformada de Laplace de cada una de los sumandos de la serie.

Una condición baja la cual este resultado es válido es que la serie sea convergente para .
Ejem. 2 Mediante el uso de tablas y...