transtorno bipolar

Operaciones con polinomios
Dados los polinomios \scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x), de la forma general:


P(x) =
a_0 +
a_1 x +
a_2 x^{2} +
a_3 x^{3} +
\dots +
a_n x^n \,

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

podemos definir como operaciones con polinomios, las operacionesaritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.

Índice [ocultar]
1 Valor numérico de un polinomio en un punto
2 Igualdad de polinomios
3 Polinomio opuesto
4 Adición de polinomios
5 Multiplicación de polinomios
5.1 Multiplicación de un polinomio por un escalar
5.2 Multiplicación de un polinomiopor un monomio
5.3 Multiplicación de dos polinomios
6 División de polinomios
6.1 Divisiones sintéticas
7 Factorización de un polinomio
7.1 Monomios y polinomios irreducibles
7.2 Factorización de polinomios de coeficientes enteros
8 Véase también
9 Enlaces externos
Valor numérico de un polinomio en un punto[editar]
Partiendo de un polinomio \scriptstyle P(x), el cálculo del valor numéricoque ese polinomio toma para un valor concreto de \scriptstyle x, \scriptstyle x\ =\ b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para \scriptstyle x\ =\ b. En el caso general:

P(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_n x^n

tomará un valor para x = b, de:

P(b) = a_0 b^{0} + a_1b^{1} + \cdots + a_n b^n

Ejemplo:
Dado el polinomio:

P(x) = 3 x^{2} - 4x + 5 \;
cual es su valor para x = 2, sustituyendo x por su valor, tenemos:

P(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 + 5
Con el resultado de:

P(2) = 9 \;
El caso:

P(x) = 0 \;
es la raíz del polinomio o ecuación polinómica que en este ejemplo es cuadrática.

Igualdad de polinomios[editar]
Dados dos polinomios:P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}, \qquad Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}

de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales, esto es, si:

\forall i\in \{0,\dots,n\}: (a_i = b_i)
Ejemplo:
P(x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 4\,
Q(x) = 5 x +5 x^{3} - 4 - x^{2} \,
en este caso:

P(x) = Q(x) \,
Polinomio opuesto[editar]
Dados dospolinomios:

P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}
Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}
de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

P(x) = -Q(x) \,
si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:

\forall_{i=0}^{n} {a_i} = {- b_i}
Ejemplo:
P(x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 2,3 x - 6 \,
Q(x) = + 3 x^{4} - 5 x^{3} + 10x^{2} - 2,3 x + 6 \,
los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.

Adición de polinomios[editar]
La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.

Dados los dos polinomiosP(x) y Q(x):

P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}
Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}
el polinomio suma R(x), será:

R(x) = P(x) + Q(x) \,
que es lo mismo que:

R(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} + \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}
sacando factor común a las potencias de x en cada monomio:

R(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} + b_{i}) x^{i}
Ejemplo:
Escribiendo los polinomios demodo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.


\begin{array}{rrrrrrrr}
& 3x^6 & -2x^5 & +8x^4 & +8x^3 & -3x^2 & +7x & +1 \\
+ & & +4x^5 & +x^4 & +9x^3 & -12x^2 & +6x & -5 \\
\hline
& 3x^6...