Trasformada De Laplace

Unidad 3
Transformada de Laplace
Sea f (t) una función con dominio en [0, ∞). La Transformada de Laplace de f (t) es la función F (s) que se obtiene como sigue
(1)
Nótese que F (s) es una función en la variable s cuyo dominio consta de todos los valores de s para los cuales la integral (1) existe es decir es convergente. Además (1) es una integral impropia, por lo que
(2)
Definición
Latransformada de Laplace de una función cualquiera se denota utilizando la letra mayúscula correspondiente a la función Transformada o utilizando notación de operadores como L {.}; por ejemplo la transformada de Laplace de una función g (t) se denotaría como G (s) o L {g} (t).
Una primera forma de obtener la transformada de Laplace de una función, si es que esta tiene, nos la proporciona ladefinición, es decir que si tenemos una función f (t) cualesquiera, su transformada de Laplace se obtiene evaluando la integral dada en (1) o en forma equivalente (2).
Condiciones Suficientes de Existencia de la Transformada de Laplace

Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una función es preciso definir un concepto para el teorema de existencia de la TL (Transformadade Laplace) de una función.

Definición
Orden Exponencial) Se dice que una función f (t) es de orden exponencial α si existen constantes positivas T y M tales que
|f (t)| ≤ M eαT
para todo valor de t ≥ T .
En otras palabras, una función es de orden exponencial α, si se puede encontrar una función exponencial adecuada MeαT que esté por encimade la función f (t) a partir de un valor determinado para t.

Ejemplo La función
f (t) = t2 + 4
es de orden exponencial α = 1 ya que la función exponencial
2et

ya que la función exponencial (en rojo) crece más rápido que f (t) (en azul) a partir de cierto valor T .
Teorema (Existencia de la TL)
Si f (t) es unafunción continua a trozos en [0, ∞) y de orden exponencial α, entonces L {f } (s) = F (s) existe para s > α.
La interpretación de este resultado es sencilla: ya que la transformada de Laplace es una integral impropia, esta integral converge siempre y cuando la función dada no crezca más rápido que la función exponencial e−st. Es preciso señalar que el teorema proporciona una condición suficientemás no necesaria para la existencia de la TL de una función, esto es que una función que no es de orden exponencial puede tener TL.
Transformada Directa de Laplace
La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales.
La transformada de Laplace de unafunción f (t ) se define como
pasando del dominio temporal t al dominio complejo s , siendo F (s) llamada transformada de Laplace de f (t ) , formando el par
f (t ) F (s)
Ejemplo:

f (t ) 1

f (t ) e at

La definición de la transformada hace necesaria que la integral converja, por lo tanto se ha de cumplir queTransformada Inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace recupera una función y(t ) a partir de su transformada Y (s), según

El cálculo de la transformada inversa no se suele hacer según su fórmula de definición, sino aprovechando el conocimiento de la transformada directa.
En la mayoría de las situaciones que se van a encontrar, la Y (s) cuya transformadainversa se quiere hallar es una función racional
Y (s) N (s)
D(s)
con grado( N (s)) grado( D(s)) , procediéndose a la división directa en caso contrario.

El cálculo de la transformada inversa se realizará descomponiendo Y (s) en fracciones parciales. Para ello se calculan las raíces del...