Triangulo

Triángulo de Pascal
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Triángulo de Pascal o de Tartaglia
El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencillanúmeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.
También es conocido como Triángulo de Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
|Contenido|
|[ocultar] |
|1 Composición del Triángulo de Pascal |
|2 Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton |
|3Coeficientes del binomio de Newton |
|4 Interpretación en combinatoria |
|5 Generalización |
|6 Otra forma de dibujar el triángulo|
|7 Enlaces externos |

[pic][editar] Composición del Triángulo de Pascal
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El Triángulo se construye de la siguiente manera: escribimos el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonaldescendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:
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pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio: [pic]
[editar] Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
La expresión que proporciona las potencias de una suma [pic]se denomina Binomio de Newton.
(1) [pic]
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
|Loscoeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal. |

Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3; también lo es para n = 0: (a + b+ w+ d)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.
Para obtener el resultado de cualquier valor de n ∈ N, se procede por inducción matemática. Suponiendo que es cierto para unvalor de n, deducimos que lo es también para n+1. Observemos lo que sucede con n = 4.
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El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³.
Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:
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Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto esjustamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.
[editar] Coeficientes del binomio de Newton
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Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la línea n y la columna p se denota:
|[pic] |o más raramente |[pic]|

("C" por "combinación") y se dice "n sobre p", "'combinación de n en p"' ó "coeficiente binomial...