Triangulos, Tipos Y Teoremas

Triangulos
Notación
La manera más común de nombrar a los triángulos es colocando el símbolo  seguido de las tres letras mayúsculas de sus vértices. Ejemplo:

Clasificación de acuerdo a sus lados
Equilátero
Son los que tienen sus tres lados iguales.

Isósceles
Son los que tienen dos lados iguales.

Escaleno
Es aquel en el que ninguno de sus lados son iguales; Son los que tienen sustres lados desiguales.

Clasificación de acuerdo a sus ángulos:
Acutángulos
Son los que tienen sus tres ángulos agudos.

Rectángulos
Es el que tiene un ángulo recto; Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto se denomina Hipotenusa.

Obtusángulos
Son aquellos que tienen un ángulo obtuso.

Los triángulos Acutángulos y Obtusángulos se denominan también"TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS" debido a que ninguno de sus lados interiores es un ángulo Recto.

Rectas y puntos notables
Circuncentro
Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (porestar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A, B y C .
Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
De lo anterior, concluimos:
Las tresmediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.
El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.
Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo,respectivamente.

Propiedad
A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:
"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo

Incentro
Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo deun triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB, BC y CA.
Al equidistar de los tres lados del triángulo, enparticular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.
De lo anterior, concluimos:
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.
El punto de corte de las tres bisectrices es elCENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.
Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad:
"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"
Baricentro
Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con lasmediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará...