triangulos

,

ALGEBRA MATRICIAL

6.1 MATRICES
OBJETIVO
Introducir el concepto de matriz y
considerar los tipos especiales de
matrices.

Buscando formas para describir situaciones en matemáticas y economía, llegam
al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el siste
de ecuaciones lineales

3X + 4y + 3z = 0,
2x + Y - z = 0,
{ 9x - 6y + 2z = O.
Lo que caracteriza aeste sistema son los coeficientes numéricos en la ecuaciqn
junto con sus posiciones relativas . Por esta razón, el sistema puede ser descrito
el arreglo rectangular

[~
ADVERTENCIA
No utilice las barras verticales, 11, en
lugar de corchetes o paréntesis, ya que
tienen un significado diferente.

4
1

-6

que es llamado matriz (plural: matrices). Consideraremos a tales arreglosrectang
lares como objetos por sí mismos y, se acostumbra encerrarlos entre corchetes. T
bién es común que se utilicen paréntesis ( ). En la representación simbólica de ma
ces, usaremos letras mayúsculas en negritas como A, B, C, etcétera.
En economía con frecuencia es conveniente utilizar matrices en la formulaci6
de problemas y para exhibir datos. Por ejemplo, un fabricante de los productos A,
yC, podría representar las unidades de mano de obra y material involucrados en u
semana de producción de estos artículos como se muestra en la tabla 6.1. De mane
más sencilla, estos datos puede ser representados por la matriz
12
9

220

16] .
7

6. 1 Motrices

221

TABLA 6.1
Producto
A

Mano de obra
Material

B

e

10
5

12
9

16
7

Los renglones de una matrizestán numerados de manera consecutiva de arriba
hacia abajo, y las columnas están numeradas de manera consecutiva de izquierda a
derecha. Para la matriz A anterior tenemos
columna 1
renglón 1
renglón 2

[

columna 2

columna 3

10
5

12
9

16
7

J=

A.

Ya que A tiene dos renglones y tres columnas, decimos que A tiene orden, o tamaño ,
2 x 3 (se lee "2 por 3"), donde elnúmero de renglones se especifica primero. De
manera semejante, las matrices

B

=[

~ ~ =~]
-3 5
O

e=

y

-3
1
5
7

r

21

4
6
-8

tienen órdenes 3 x 3 y 4 x 2, respectivamente.
Los números en una matriz son llamados entradas o elementos. Para denotar
entradas arbitrarias de una matriz, digamos de una de orden 2 x 3, existen dos métodos comunes. Primero, podemosutilizar letras diferentes:

a
[d

b
e

e]

f .

Segundo, una sola letra se puede usar, digamos, a, junto con doble subíndice apropiado para indicar su posición:

~ S~b{ndice del renglón aparece a la
IZquIerda del subíndice de la columna.
En general, a,j :t al'...

Para la entrada a 12 se lee "a subíndice uno-dos", o sólo "a uno-dos", el primer
subíndice, 1, especifica el renglón yel segundo, 2, la columna en la que aparece la
entrada. De manera similar, la entradaa23 (se lee "a dos-tres") es la que se encuentra
en el segundo renglón y la tercera columna. Generalizando, decimos que el símbolo
a¡j denota la entrada en el renglón i y en la columna}.
Nuestra atención en este capítulo estará en la operación y aplicación de varios
tipos de matrices. Para completar, ahoradaremos una definición formal de una matriz.

222

6

ÁLGEBRA MATRICIAL

Definición
Un arreglo rectangular de números que consiste en m renglones y n columnas.
a"
az,

a,z
azz

a,"
aZ
Il

es llamado matriz de m X n o matriz de orden m x n . Para la entrada a. llama
'1
a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna.
ADVERTENCIA
No confunda la entrada general
lamatriz [al

aij

con

El número de entradas en una matriz de m x n es mn . Por brevedad, una ma
de m x n puede ser denotada por el símbolo [a;)m xlI o de manera más sencilla [a
donde el orden se entiende que es el apropiado para el contexto dado. Esta notaci
sólo indica qué tipos de símbolos son utilizados para denotar la entrada general.
Una matriz que tiene exactamente un renglón,...