Triangulos

Congruencia de Triángulos

Definición

Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.
B Q

III. (L.L.L.)

B

Q

A

C

P

R

IV. (L.L.A.m.)
A
⇒

C P
∆ABC  ∆PQR

R

B

Q α

Postulados de congruencia en triángulos
I. (L.A.L.)
B Q

w

w

Nota.- En un problema dado se podrá afirmar que dostriángulos son congruentes, si tienen como mínimo tres elementos iguales, de los cuales uno de ellos debe ser un lado.

ic

a1

.c

om

α

.M

at e

m at

α : Opuesto al mayor lado

A

C

P

R

Propiedades en congruencia de triángulos
1. De la bisectriz
Todo punto situado en la bisectriz, siempre equidista de los lados del ángulo.
A

w

α A C P

α R

P α α BPA=PB OA=OB

II. (A.L.A.)

O
B Q

A

α

β C P

α

β R

2. De la mediatriz

Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.
P

4. De la mediana relativa a la Hipotenusa

PA = PB

La mediana relativa a la hipotenusa, siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.

B α° β°

BM = AC 2

A

B

3. De labase media de un triángulo

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado. Si: MN// AC Si: M y N son puntos medios
B B

A

α°

M

β°

C

BN = NC

MN = AC 2

w

w

w

A

C A

.M

at e
C

m

at ic

M

N

M

N

a1

.c

om

Problemas aPlicativos
1. En lafigura, calcule “x”. α x α a) 15° b) 18° c) 10° d) 20° e) 12°

6. En la siguiente figura, calcule “x”. a) 24 b) 12 α c) 4 d) 8 8 e) 16 3α 2α x 7. En la siguiente figura, calcule “x”. a) 18,5° b) 37° 3 c) 26,5° d) 53° 5 e) 30° α x α

4x 2. En la figura, calcule “x”. 10° α a) 9° d) 15° b) 18° e) 10° α α x α c) 12°

4. En la figura, calcule “x”. x

w

w

w

3x 3x

a) 8 b) 15 c) 12 d)10 e) 9

m

at e

at ic

.M

9. En la figura, calcule “x”.

a1

.c

om

3. En la figura, calcule “x”.

8. En la siguiente figura, calcule “x”. a) 2 b) 4 c) 3 α x d) 5 e) 6 2 α a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 6 x a) 28° b) 30° c) 32° d) 38° e) 45°

a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3

2 3x 10. En la figura, calcule “x”.

12 5. En la figura calcule “x”, si: AP=2PD a) 10° B b) 20° α C c) 30° α θd) 50° θ e) 60° x D A P

x

11. En la figura, calcule AC. Si: AP=8 a) 16 B b) 12 3α c) 14 d) 18 P e) 10 2α 2α A C 12. En un triángulo ABC (AB=BC) trazamos la bisectriz interior AD. En el triángulo ADC trazamos las bisectrices interior DE y exterior DF. Calcule EF. (AD=6) a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 13. Calcule “x”. a) 24 b) 21 c) 15 d) 12 e) 18

Problemas ProPuestos
1. En la figura,calcule “2x”. 4x 5x θ

θ

13x 9x

a) 9 d) 6

b) 8 e) 4

c) 12

2. En la figura, calcule “x”. Si: BC=2AD B A x α a) 53° d) 37° D b) 45° e) 60°

α c) 30°

14. Se tienen los triángulos equiláteros ABC y BMN, tal que M, C y N sean colineales (N exterior y relativo a BC). Si: BM=6 y AB=5. Calcule el perímetro de la región triangular AMC. a) 9 b) 11 c) 10 d) 13 e) 12

w

w

w

.Mat e

x

m

at ic

2α

3. En la figura, calcule “NP”. Si: MR-RQ=10 N P Q θ M a) 10 d) 6 90–2θ b) 8 e) 14 R c) 12

15. Calcule “x”. Si: AC=BP B

2x 3x 4x

a) 20° b) 18° c) 22° d) 24° e) 38°

4. En la figura, calcule “x”. Si: BC//DF B 6 A D C x F a) 8 d) 6 b) 3 e) 5 c) 4 E

A

P

C

a1

.c

om

6

α

C

5. Si: AM=MC y AC=BE. Calcule “x”. B x

BM 9. En lafigura MN=NC. Calcule MR A

θ θ Q 30°

A E a) 45° d) 30°

M

C

B a) 1 d) 1/2

M R b) 2 e) 1/3

N

C

b) 37° e) 60°

c) 53°

c) 3

6. En la figura, calcule “x”.

M 2x a) 9° d) 30° b) 18° e) 15° 45°–x x c) 12°

10. En un triángulo ABC, las mediatrices de AB y BC se intersectan en “O”, tal que 8(BO)=5(AC). Calcule la mABC. a) 53° b) 37° c) 60° d) 30° e) 45° 11. En un...