Triangulos
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
TRIÁNGULOS
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
Un triángulo es un polígono de tres vértices.
Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres
ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y
C lo denotamos ABC .
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS
Un triángulo es:
ESCALENO:
desiguales.
Si
tiene
sus
tres
lados
ISÓSCELES: Si tiene por lomenos un par de
lados congruentes. Si AB AC entonces se
dice que el ABC es isósceles de base BC .
EQUILÁTERO:
congruentes.
Si tiene sus tres lados
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS
Un triángulo es:
ACUTÁNGULO:
agudos.
Si tiene los tres ángulos
ALTURA: Es la perpendicular trazada desde
un vértice a su lado opuesto o a su
prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es
la baserelativa a dicha altura.
BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de
un ángulo interior, por ejemplo AD .
BISECTRIZ EXTERIOR:
Es la bisectriz de
un ángulo exterior, por ejemplo
RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El
lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y
los lados que lo forman son los catetos.
OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.
EQUIÁNGULO:
congruentes.
MEDIANA:
Es elsegmento que une un
vértice con el punto medio M de su lado
opuesto, por ejemplo AM .
Si tiene los tres ángulos
AE .
MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa
por el punto medio M de un lado, por ejemplo
MN .
Todo triángulo tiene tres medianas, tres
alturas, tres bisectrices interiores, tres
bisectrices exteriores y tres mediatrices.
TEOREMA: Todo triánguloequilátero es
isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.
GEOMETRÍA
C.A.V.A.
2
TRIÁNGULOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
COROLARIOS:
1.
A D
B E
C F
Dos elementos respectivamente congruentes
son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados
Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos).
TEOREMA: La congruencia de triángulos es
una relación de equivalencia:
1.2.
3.
Reflexiva: ABCABC
Simétrica: ABCDEF DEFABC
Transitiva:
ABCDEF DEFGHIABCGHI
NOTA:
La transitividad será muy útil para
probar que dos triángulos son congruentes.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S
CRITERIO L.A.L.
AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen un ángulo congruente formado por lados
respectivamente congruentes.
GEOMETRÍA
2.
Todotriángulo equilátero es equiángulo.
(Ejercicio)
En todo triángulo isósceles, la bisectriz
del ángulo opuesto a la base también es
mediana, altura y mediatriz con respecto
a la base.
4.
AB DE
ABC DEF BC EF
AC DF
En todo triángulo isósceles los ángulos
opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
3.
DEFINICIÓN:
Dostriángulos
son
congruentes si tienen sus tres lados
respectivamente congruentes y sus tres
ángulos respectivamente congruentes:
Por un punto exterior a una recta pasa una
y sólo una perpendicular a ella.
5.
En todo triángulo, cada ángulo exterior es
mayor que cualquiera de los dos ángulos
interiores no adyacentes.
6.
Todo triángulo tiene por lo menos dos
ángulos agudos. (Ejercicio)Dm:
1.
Supongamos que el
ABC es isósceles de
base BC y tracemos la
bisectriz AD del BAC,
con B-D-C.
AB AC
hip.
L :
Tenemos: A : BAD CAD const. , luego
L : AD AD reflex.
por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos
homólogos resulta B = C.
3. También por lados homólogos BD=DC
entonces AD es mediana. Además por sHs
ADB=ADC, pero BDC=180º (porB-D-C),
entonces ADC=90º, luego AD es altura y
como pasa por el punto medio de BC , también
es su mediatriz.
C.A.V.A.
TRIÁNGULOS
3
4.
Debemos probar tanto la existencia
como la unicidad de dicha perpendicular.
5.
En el ABC consideremos el ángulo
exterior DAC y veamos que DAC BCA .
Existencia: Sea A un
punto exterior a la
recta L. Tomemos dos
puntos B y C...
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