Trnsformada

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Transformada de Laplace
Es una función f (t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Siempre ycuando la integral esté definida.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define comosigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f (t).
PropiedadesLinealidad:

Potencia n-ésima:

NT: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto :)
Exponencial

Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

F (t)=cosh(t)/e
Logaritmo natural

Raiz n-ésima

Función de Bessel de primera clase

Función modificada de Bessel de primera clase

Función de error

Derivación:

Integración:

Dualidad:Desplazamiento de la frecuencia:

Desplazamiento temporal:


Nota: u (t) es la función escalón unitario.
Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de unafunción con periodo p


Condiciones de convergencia
(Que crece más rápido que e − st) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que, no es una función de orden exponencial de ángulos.
Tabla de lastransformadas de Laplace selectas
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operadorlineal:
La transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

* Linealidad de la transformada
Si y existen entonces:

Para cualquier constante real.Demostración
Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Ejemplo
Calcule.
Solución
Como por la propiedad de linealidad
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