Tuto Mate

1. INTRODUCCIÓN

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado se analizó el signo del discriminante y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijoque la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación desegundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.


2. DEFINICIÓN Y OPERACIONES EN EL CONJUNTO DELOS NÚMEROS COMPLEJOS

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra ʀ al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientesoperaciones:

Suma.
Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en ʀ2.

Dos propiedadesque cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.
Multiplicación por un escalar. Donde .

Ejemplo. Dados y , hallar:
a)
b)
c)Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano ʀ2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de lasy eje imaginario (Im) al eje de las .




Gráfica 1: Representación del número complejo .


Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto queen el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar lapropiedad de la multiplicación por un escalar :



Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo con...