Ukas

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
tal que:

i) 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

ii) 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
,'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
es una transformación lineal,entonces 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

En efecto 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii) 'Transformaciones lineales''Transformaciones lineales'
es lineal si y solo si 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Si T lineal, entonces 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Inversamente, supongamos que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales', 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

a) 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

b) 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Nótese que usamos el hecho de que 'Transformaciones lineales'
'Transformacioneslineales'
, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii) 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
es lineal si y solo si 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

La demostración se hace por inducción sobre n.a) Si 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, entonces 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, por la condición (ii) de T.

b) Supongamos válido para n. Probemos para 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
:

Por la condición (i) de T, tenemos que, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
Y por hipótesisde inducción, tenemos que,

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'


Así que podemos concluir que,

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos usoextenso de la observación (ii) de arriba.

Ejemplo 1.

Sea 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
tal que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Entonces T es lineal, ya que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, y por otro lado, 'Transformaciones lineales''Transformaciones lineales'
. Por lo tanto, vemos que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Ejemplo 2.

Sea 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
tal que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
,...