Un Acercamiento A Los Datos Censurados Y El Bootstrap

Comunicaciones en Estad´ ıstica Diciembre 2008, Vol. 1, No. 1

Un acercamiento a los datos censurados y el bootstrap
An Approach to Censored Data and the Bootstrap Yesid Rodrigueza
heivarrodriguez@usantotomas.edu.co

Ronne Tamayob
ronnetamayo@bancodecredito.com

Resumen En este articulo de car´cter divulgativo, se busca mostrar algunos resultados relaa cionados con las curvas desobrevida bajo el m´todo de Kaplan-Meier (K.M.), y e su aplicaci´n a los datos censurados por m´todos de remuestreo, espec´ o e ıficamente Jackknife y Boostrap. Palabras clave: Boostrap, Jackknife, m´todo de Kaplan-Meier. e Abstract The purpose of this paper is to communicate some recent results about survival analysis under the Kaplan-Meier curve and its aplication to censored data by resampling methodssuch as Jackknife y Boostrap. Key words: Boostrap, Kaplan-Meier, Jackknife.

1. Introducci´n o
El estimador Jackknife de la varianza, se puede considerar como una aproximaci´n o al estimador Bootstrap, cuando el estad´ ıstico de estudio es suficientemente suave1 ; pero esto no implica, que el estimador Bootstrap, sea siempre mejor que el estimador Jackknife. Puesto que el m´todo Jackknife,requiere menos c´lculos que el e a m´todo Bootstrap, realizar procedimientos de tipo Bootstrap puede resultar ine necesario en estimaci´n de varianzas, cuando se han utilizado los procedimientos o de Jackknife.
Universidad Santo Tomas de riesgo. Banco de Cr´dito. Helm Financial services e 1 Se dice que un estad´ ıstico es suave, cuando su funci´n de distribuci´n lo es. Una funci´n de o o odistribuci´n F es suave, si es continua o tiene una funci´n de densidad f . Una discusi´n mas o o o profunda acerca de este concepto, puede encontrarse en Shao & Tu (1995, p.113)
b Analista a Profesor.

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Yesid Rodriguez & Ronne Tamayo

El m´todo Bootstrap (Efron 1979), es una t´cnica de estimaci´n de la distribuci´n e e o o muestral de un estad´ ıstico. El procedimiento Bootstrap,consiste en hacer una serie de replicaciones a cada miembro de una muestra, gran cantidad de veces. Una forma corta, se hace tomando una nueva muestra de la misma muestra con reemplazo, ya que cada vez que se selecciona una observaci´n para la muestra, se o permite a cada elemento de la muestra original tener la misma probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto, seleccionar una muestra esequivalente a reproducir cada elemento gran cantidad de veces y realizar un muestreo sin reemplazo. En este art´ ıculo, se considera una situaci´n llamada datos censurados a derecha o y se hace uso de las t´cnicas Bootstrap para responder a cuestiones relacionadas e con la estimaci´n de curvas bajo el m´todo de Kaplan-Meier (K.M.), como: o e 1. ¿Cu´l es el error est´ndar de la curva K.M.? a a 2. ¿Cu´l esel error est´ndar de un par´metro de localizaci´n, basado en K.M.? a a a o 3. ¿Cu´l es el intervalo de confianza para la estimaci´n? a o Con respecto a la primera pregunta, se sabe que el m´todo Bootstrap provee e una nueva justificaci´n para la formula de Greenwood y sugiere que el m´todo o e Bootstrap, puede realizarse en situaciones de censura mas complejas. La segunda cuesti´n ha sido abordadapor Miller (1964), quien propuso soluciones o mediante el m´todo de Jackknife. Finalmente, para la tercera cuesti´n se tienen e o los intervalos de confianza para muestras no-param´tricas peque˜as que son bien e n conocidas para la mediana (Lehman 1975), pero no para otros estimadores. Otras exposiciones para esta situaci´n incluyen los trabajos de Johnson (1978) acerca de o intervalos de confianzabasados en la distribuci´n t-student. o

2. Bootstrap en datos censurados
El Bootstrap para datos censurados es extremadamente simple y la teor´ necesaria ıa para su realizaci´n es m´ o ınima. Supongamos que se observa. Xi = xi , para i = 1, 2, 3, . . . , n, donde Xi ∼ iid Acorde a alguna funci´n de distribuci´n de probabilidad F desconocida. La reao o lizaci´n xi puede ser un valor real,...