Un Modelo De Geometría No Euclidiana

GEOMETRÍA III
IES N° 9-011 Del Atuel
Profesorado para la ES de Matemática
Prof. Viñolo Sergio Damián

Semiplano de Poincaré

INTRODUCCIÓN:
Los Elementos de Euclides constituyen una de las obras científicas más bellas, antiguas y extensas que han logrado llegar hasta nuestros días. Se trata de una recopilación y sistematización de la Matemática producida hasta el momento. Aquí se introduceexplícitamente el “método axiomático”.
Comienza estableciendo definiciones, nociones comunes o axiomas y postulados formulados de manera simple y que deben ser aceptados como ciertos.
Los cinco postulados de Euclides:

Cada uno de ellos constituye una idea que no puede derivar de otros postulados, pero la humanidad tardó 2000 años en convencerse de ello.
En este intento de refutar al quinto postulado,en el siglo XIX, célebres matemáticos como Bolyai, Lobachevsky y Gauss demostraron que existían otros sistemas geométricos en los cuales no se cumplía ese quinto postulado pero sí los primeros cuatro; se daba lugar entonces a la GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA.
Entre estos nuevos modelos se encuentra el MODELO HIPERBÓLICO.

MODELO HIPERBÓLICO
Así como el plano euclídeo se representa con los puntos y rectasusuales de R × R, para representar al plano hiperbólico existen diferentes modelos. Estos son: el modelo de Klein, el disco de Poincaré, el semiplano superior de Poincaré y el modelo de Lorentz o hiperboloide. Entre ellos nos detendremos en el SEMIPLANO DE POINCARÉ.

EL SEMIPLANO DE POINCARÉ
Consideremos el plano proyectivo , llamaremos semiplano de Poincaré al conjunto H:
H = { z  C / Im (z)> 0}
Es decir, el semiplano de Poincaré es el semiplano superior del plano proyectivo.
Definición: los puntos complejos que constituyen el semiplano de Poincaré se llaman puntos propios.
Definición: los puntos del eje real (Im (z) = 0) y el infinito son los puntos impropios del semiplano de Poincaré.
Definición: las rectas de esta geometría son semirrectas verticales y semicircunferenciascentradas en el eje real de la variable z, es decir, el eje x.

ACTIVIDAD 1. Ejemplifique los elementos definidos para este modelo de Geometría Hiperbólica.

ACTIVIDAD 2. ¿Cuántos puntos impropios tiene una recta en este modelo? Explique.

El quinto postulado de la Geometría Euclídea no se cumple en este modelo ya que, diremos que dos rectas son paralelas si se cortan en un punto impropio.



ACTIVIDAD3.
a. ¿Cuáles son los casos de rectas paralelas existentes en este modelo?
b. Entonces, por un punto exterior a una recta, ¿cuántas paralelas pasan?
c. Dos rectas paralelas a una tercera ¿son paralelas entre sí?

Dados cuatro números complejos distintos z1 , z2 , z3 , z4, que son puntos del plano, se llama razón doble de z1 , z2, z3 , z4 , y se denota (z1 , z2 , z3 , z4), al número complejoACTIVIDAD 4. Pruebe que, si T es una transformación bilineal, entonces:
(T(z1), T(z2), T(z3), T(z4)) = (z1, z2, z3, z4)
Enuncie coloquialmente a esta propiedad.

Resumiendo, si tenemos en cuenta que una transformación bilineal con ad-bc transforma rectas verticales y circunferencias centradas en el eje x en rectas verticales y circunferencias centradas en el eje x, y que ademásrespeta los semiplanos inferior y superior, y la razón doble de cuatro puntos, sospechamos que la definición de distancia en el semiplano de Poincaré debe tener algo que ver con las razones dobles.
Antes de definir la distancia, veamos qué le vamos a exigir.
Para empezar, diremos que dos figuras son congruentes si existe una transformación bilineal que transforma a una en la otra. Esta propiedad esanáloga a la que exigimos en la geometría habitual, cuando decimos que dos figuras son congruentes si podemos superponerlas (es decir, si podemos transformar una en la otra por una isometría euclídea: ¿cuáles eran las isometrías euclideas?). Para que la distancia que vamos a definir “respete” estas propiedades, le exigimos que sea invariante por transformaciones bilineales; es decir, que una...