Una f brica est situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó afuncionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene unasalida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

PROBLEMA DEECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Los datos conocidos de los ejercicios son los siguientes:
𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 10000 𝑚3 𝑠
𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000 𝑚3 𝑠
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2 𝑚3/ 𝑠÷8000 𝑚3 /𝑠 = 0.00025 = 0.025%
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 6000 × 106 𝑚3/ 𝑠 DESARROLLO

ESQUEMA



Este ejercicio es un modelo de ejercicio del caso de mezclas que tiene algunas consideraciones importantespara tener en cuenta: Durante el día solo se va a presentar entrada del contaminante en 4 horas luego eso implicaría tener ecuaciones que trabajaran por intervalos lo cual sería más complicado. Parasolventar este problema vamos a considerar una entrada promedio por día del contaminante así:

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2 𝑚3/ 𝑠

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 = 2 𝑚3 /𝑠 × 60 𝑠÷ 1𝑚𝑖𝑛 × 60 𝑚𝑖𝑛÷ 1 ℎ × 4 ℎ = 28.800 𝑚3

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 28800 𝑚3/ 𝑑𝑖𝑎

El volumen del lago se mantiene constante ya que los caudales de entrada y salida son iguales.

𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 =8000 𝑚3 𝑠 × 60 𝑠÷ 1 𝑚𝑖𝑛 × 60 𝑚𝑖𝑛 ÷1 ℎ × 24 ℎ÷ 1 𝑑𝑖𝑎 = 691200000 𝑚3 𝑑𝑖𝑎

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 6000 × 106 𝑚3/ 𝑠

Luego de presentar las anteriores consideraciones vamos a plantear la ecuación querelaciona la cantidad de contaminante en el tiempo.
Esta se representa por:
𝑑𝑄/ 𝑑𝑡 = 𝑄𝑖 − 𝑄 𝑜

𝑑𝑄/ 𝑑𝑡 = 𝑉𝑖 − 𝑉𝑜

Ahora vamos a reemplazar
𝑑𝑄/ 𝑑𝑡 = 28800 − 691200000 × 𝑄 (𝑡)/ 6000∗106...