Medicion del caudal de un rio

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SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL METODO DE GAUSS SEIDEL
I.- INTRODUCCION.
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse acualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.
En este caso vamos hallar lasraíces de las ecuaciones mediante iteraciones a partir de otras ecuaciones planteadas en las ecuaciones iniciales con el fin de buscar la solución de todas nuestras incognitas. Al momento de despejar cada ecuación lo 1ro que vamos hacer es iniciar dando valores asumidos cualesquiera y posteriormente encontraremos nuestra verdadera solución.
II.- OBJETIVOS
* Determinar la solución de un sitemade ecuaciones por el método gauss seidel.

* Familiarizarse con la utilización de métodos alternativos para encontrar la solución del sistema.

* Relacionar los métodos de sistemas de ecuaciones con el campo de la ingeniería civil.
* Aplicación adecuada de los métodos de solución de un sistema de ecuaciones con nuestra vida profesional.
III.- MARCO TEORICO.En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones linealessobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
Elproblema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puedeser escrito en forma ordinaria como:

Donde  son las incógnitas y los números  son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. Elsistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
METODO DE GAUSS SEIDEL.
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, ennotación matricial:

donde:

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración :

donde

definimos

y
,
donde los coeficientes de la matriz N se definen como  si ,  si .
Considerando el sistema  con la condición de que . Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras alas aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones
Además:
Este es uno de los métodos más interesantes del análisis numérico y particualmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas.
Para comenzar es preciso mencionar que es un método iterativo, es decir que debe aplicarse recursivamente hasta encontrar una solución...
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