UNI 2013
PARTE 1
Entonces
Ak=A, ∀k ∈ N
Pregunta N.o 1
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Si A es una matriz cuadrada tal que A2=A,
entonces AK=A, ∀K ∈ N.
II. Si B es simétrica, entonces – B2 es antisimétrica.
III. C es matriz cuadrada tal que CK=0 para algún
II.
K
K ∈ N, entonces I + ∑ C i es inversible.
i =1
Cuáles de lassiguientes proposiciones son
verdaderas.
A) Solo I
B) Solo II
D) I y II
C) Solo III
E) I y III
Resolución
Tema: Matrices
Recordemos lo siguiente:
Sea M una matriz cuadrada
• MT=M ↔ M es simétrica
• MT=– M ↔ M es antisimétrica
• M es inversible ↔ |M|≠0
Análisis y procedimiento
I. Verdadero
Por dato A2=A
Veamos:
A3=A2 · A=A · A=A2=AA4=A3 · A=A · A=A2=A
Ak=Ak – 1 · A=A · A=A2=A
Falso
Por dato B es simétrica → BT=B
T
Para que – B2 sea antisimétrica (– B2) =B2
Calculemos
(− B 2 )
T
T
2
= − (B 2 ) = − (BT ) = − B 2
B
2 T
2
Luego como (– B ) =– B , entonces – B2 es
simétrica.
III. Verdadero
Por dato Ck=0 para algún k ∈ N.
k
Consideremos M = I + ∑ C i .
i =1
Para determinar sies invertible M, debemos
demostrar que |M| ≠ 0.
Veamos
k
M=I+C+C2+C3+...+Ck – 1+ C
0
M=I+C+C2+C3+...+Ck – 1
Multiplicamos por C
MC=(I+C+C2+C3+...+Ck – 1)C
MC = (C + C 2 + C 3 + C 4 + ... + C k
MC=M – I
I=M – MC
I=M(I – C)
1
MATEMÁTICA
Tomamos el determinante en ambos miembros
|I|=|M(I – C)|
1=|M||I – C|
→ |M| ≠ 0
Porlo tanto, M es invertible.
Respuesta
I y III
Pregunta N.o 2
La siguiente figura da la idea de tres planos
interceptándose según la recta L. ¿Cuál(es) de
los sistemas de ecuaciones dados representa a la
figura dada?
Resolución
Tema: Sistema de ecuaciones lineales de 3
variables
Tenga en cuenta que
1. La gráfica de la ecuación P:ax+by+cz=d
representa un plano en R3.
2. La gráficade la ecuación
x − x 0 y − y0 z − z 0
L:
=
=
a
b
c
representa una recta en R3.
3. Una recta L también se representa como
L ={(x, y, z)/(x, y, z)=(x0, y0, z0)+t(v1, v2, v3), t ∈ R}
Análisis y procedimiento
Tenemos la figura que da la idea de tres planos
que se intersecan según la recta L .
L
L
I.
Luego L representa el conjunto solución de un
sistema linealde 3 variables.
En ese sentido, vamos a resolver cada uno de los
sistemas dados.
I. Se tiene
P : 2x+3y – z=1
Q : – x+5y+2z=4
R : x+8y+z=5
2x+3y – z=1
– x+5y+2z=4
x+8y+z=5
II.
x – y+3z=– 2
– 2x+2y – 6z=– 4
– x+y – 3z=2
III. 2x – y+z=3
– x+3y – z=1
x – 2y+2z=2
A) Solo I
B) I y III
D) I, II y III
C) Solo III
E) Solo II
Alsumar
se obtiene x + 8 y + z = 5
Luego P+Q es equivalente a R.
2 x + 3y − z = 1 +
− x + 5 y + 2z = 4
2
MATEMÁTICA
El sistema tiene infinitas soluciones, entonces
basta resolver
P : 2x+3y – z=1
Q: – x+5y+2z=4
De P+2Q, es decir,
2 x + 3y − z = 1
− 2 x + 10y + 4 z = 8
1
{− 2 x + 2y − 6 z = − 4}
2
se obtiene
x – y+3z=2
Entonces losplanos P y Q son paralelos.
Luego el conjunto solución del sistema II es
vacío.
13y + 3z = 9
y=
9 − 3z
13
Reemplazamos en la ecuación
2x+3y – z=1
9 − 3z
2x + 3
− z =1
13
Se obtiene
7 11
− z
x = −
26 13
Luego
CS = ( x, y, z ) x = −
como
{
}
7 11
9 − 3z
− z; y =
; z ∈R
26 13
13
7 11 9 −3 z
( x, y, z) = −
− z;
; z
26 13
13
7 9
11z 3 z
(x, y, z) = − ; ; 0 + − ; − ; z
26 13 3
13
−
III. Se tiene
P: 2x – y+z=3
Q: – x+3y – z=1
R: x – 2y+2z=2
II. Se tiene
P: x – y+3z= – 2
Q: – 2x+2y – 6z= – 4
R: – x+y+2z=2
1
En Q multiplicamos por − , es decir,
2
Luego
7...
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