Unidad 2 raíces de ecuaciones

Unidad II
Raíces de ecuaciones

2.1 Métodos de intervalos
Teoría
Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a f(x)=0.
Así, que un método simple para obtener a la raíz de la ecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruza el eje x. Por eso estos tipos de métodos, son llamados "Métodos Gráficos" Debido a ello, el desarrollo de métodos quenos permiten solucionarlo es amplio;  en esta unidad presentamos algunos para determinar las raíces reales o complejas de ecuaciones de este tipo, tales como:
Métodos de bisección

El método de la bisección o también llamado Método de Bolzano, parte de una función F(x) y un intervalo [x1, x2] tal que F(x1) y F(x2) tienen signos contrarios. Si la función es continua en este intervalo, entoncesexiste una raíz de F(x) entre x1 y x2.
Una vez determinado el intervalo [x1,x2] y asegura la continuidad de la función en dicho intervalo, se valúa ésta en el punto medio xm del intervalo.
Si F(xm) y F(x1) tiene signos contrarios, se reducirá el intervalo de x1 a xm, ya que dentro de estos valores se encuentra la raíz buscada. Al repetir este proceso, hasta lograr que la diferencia entre losdos últimos valores de xm sea menor que una tolerancia prefijada, el último valor xm será una buena aproximación de la raíz.

Algoritmo

1. Elija valores iníciales inferior x1, y superior de x2, que encierren a la raíz, de forma que la función cambien el signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(x1) f(x2) 0) Then
sig = "+"
xi = xr
ElseIf (ff < 0) Then
sig = "-"
xs = xr
EndIf
If (correcto > 0) Then
ea = Abs(((xr - a) / xr) * 100)
End If
Label1.Caption = Label1.Caption & vbCrLf & correcto
Label3.Caption = Label3.Caption & vbCrLf & Format(fxi, "0.#####")
Label5.Caption = Label5.Caption & vbCrLf & Format(fxs, "0.#####")
Label6.Caption = Label6.Caption & vbCrLf & Format(xr, "0.#####")
Label7.Caption = Label7.Caption & vbCrLf & Format(fxr, "0.#####")Label8.Caption = Label8.Caption & vbCrLf & sig
Label9.Caption = Label9.Caption & vbCrLf & Format(ea, "0.####")
a = xr
If (ea < 0.01) And (correcto > 0) Then
frmbiseccion.Visible = False
cmdcalcular.Enabled = False
frmprincipal.Visible = False
MsgBox "Raiz Encontrada en Xr=" & xr, vbExclamation, "JORGE ARAIZA 8/OCT/2001 "
frmbiseccion.Visible = True
End If
correcto = correcto + 1
End Sub
PrivateSub cmdsalir_Click()
Unload Me
frmprincipal.Visible = True
End Sub
Private Sub Command1_Click()
Label1.Caption = " I"
Label2.Caption = " xi"
Label3.Caption = " f(xi)"
Label4.Caption = " xs"
Label5.Caption = " f(xs)"
Label6.Caption = " xr"
Label7.Caption = " f(xr)"
Label8.Caption = " f(xi) f(xr)"
Label9.Caption = " Ea %"
correcto = 0
cmdcalcular.Enabled = True
xi = 0
xs = 1
EndSub
Private Sub Form_Load()
xi = 0
xs = 1
ea = 0
correcto = 0
frmprincipal.Visible = False
End Sub

Método de la falsa posición
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación por "fuerza bruta" es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.

Un inconveniente del métodode bisección es que al dividir el intervalo de x1 a xu en mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes de f(x1) y f(xu). Por ejemplo, si f(x1) está mucho más cercana a cero que f(xu), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de x1 que de xu. Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(x1) y f(xu) con una línea recta. La intersección de esta líneacon el eje de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta de una "falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.


Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima...