Raíces Racionales De Una Ecuación

Raíces Racionales de una Ecuación
Para resolver ecuaciones de raíces racionales se deben agotar los siguientes pasos:
1. Naturaleza de las Raíces de una Ecuación.
1.1 Raíces Nulas de una Ecuación.
1.2 Variación de signos de un polinomio
1.3 Regla de los Signos de Descartes (raíces reales positivas y reales negativas)
1.4 Raíces complejas.
2. Acotación de Raíces Reales de una Ecuación.
3.Teorema de raíces racionales de una ecuación o teorema de Peleterius.

Naturaleza de las Raíces de una Ecuación: Consiste en determinar las raíces reales y complejas de una ecuación, y de las reales, cuáles son positivas, negativas o nulas.
Variación de los Signos de un Polinomio.
Es el cambio de signos que se verifica entre un término y otro de un polinomio ordenado en orden descendente; sinimportar que esté completo o incompleto.

Ejemplos: P1(x) = 2X6 - 3X2 + X + 4 2 variaciones
P2(x) =3X5 - 2X4 + X2 - X+2 4 variaciones.

Raíces Nulas de una Ecuación:
Para resolver una ecuación debemos primero encontrar las posibles raíces nulas.
¿Cómo sabemos cuándo hay raíces nulas?
1o) Si una ecuación carece del término independiente, pero no del término delprimer grado, entonces posee una raíz nula.
2o) Si una ecuación carece de los términos de grado cero y grado uno, pero no del término de grado dos, entonces posee dos raíces nulas y así sucesivamente.
Ejemplos:
P2(x) = 3X= 0 1 raíz nula.
P3(x) = 3X3 - 5X2 = 0 2 raíces nulas.
P4(x) = 2X2 - 4X = 0 1 raíz nula.
P5(x) =X3 + 3X2 +2X = 0 1 raíz nula.
ninguna raíz nula


Regla de los Signos deDescartes.
Teorema I.
El número de raíces reales positivas de un polinomio P(x) con coeficientes reales es:
a) El mismo número de variaciones de signos de P(x), o
b) Menor que el número de variaciones de signos de P(x), siendo la diferencia un entero positivo par.

Ejemplos: Determinar el número de raíces reales positivas de los siguientes polinomios.
P6(x) = 2 variaciones. R+ = 2, ó 0
P7(x) =4 variaciones. R+ = 4, 2, ó 0
P8(x) = 1 variación. Tiene exactamente una raíz real positiva.
Teorema II.
El número de raíces reales negativas de un polinomio P(x) con coeficientes reales es:
a) El número de variaciones de signos de P(-x), o
b) Menor que el número de variaciones de signos de P(-x), siendo la diferencia un número entero positivo par.
Ejemplos: Determinar el número de raícesreales negativas de los siguientes polinomios.
P9 (x) = 5X4 + 3X3 + 7X2 + 12X + 4
P9 (x) = 5X4 (-1)0 + 3X3 (-1) + 7X2 (-1)2+12x (-1)3 + 4(-1)4
P9(x) = 5X4 - 3X3 + 7X2 - 12X + 4 4 variaciones. R- = 4, 2 ó 0
P10(x) = 6P6 - 5P4 + 3P3 – 7P2 + P - 2
P10(-x) = 6P6 - 5P4 - 3P3 – 7P2 - P - 2 1 variación.

Informar sobre la naturaleza de las raíces de la ecuación.
1) F(x) = 3X5 – 7X4 + 4X3 – 2X + 5 =0 4 variaciones
F(-x) = 3X5 + 7X4 + 4X3 – 2X - 5 = 0 1 variación.


C
Grado
4
1
0
5
2
1
2
5
0
1
4
5

2) F(x) = X5 – 2X4 – 5X3 – 7X2 = 0
Posee 2 raíces nulas, la separamos

g(x) = X3 – 2X2 – 5X – 7 = 0 1 variación R+ = 1
g (-x) = X3 + 2X2 – 5X + 7 = 0 2 variaciones R- = 2 ó 0


C
Raíces Nulas
Grado
1
2
0
2
5
1
0
2
2
5

Ejercicios propuestos: Determina la naturaleza de las raíces de lassiguientes ecuaciones
3) F(x) = X5 + 5X3 – 10X2 – 2X + 8 = 0
4) F(x) = 4X4 – 4X3 – 25X2 + X + 6 = 0
2. Acotación de Raíces Reales de una Ecuación.
Sea F(x) = anXn + an-1Xn-1 +…..+ a2X2 + a1X + a0 =0; n es positivo.
Acotar la ecuación, consiste en encontrar dos números L 0 y L’0; llamados cotas o límites ( límites superior (L) y límites inferior (L’) tales que las raíces reales de la ecuación seencuentren dentro del intervalo [L’,L].
Para determinar los límites de las raíces de una ecuación F(x) = 0 de coeficientes enteros, basta saber buscar el límite superior de las raíces positivas de F(x) = 0 y buscando ese mismo límite en la transformada F(-x) = 0, se obtiene el límite inferior de las raíces negativas.
Existen varios métodos para conseguir el límite de las raíces de una ecuación. Uno...