Unidad 5: Transformaciones Lineales

Algebra lineal
UNIDAD 5: Transformaciones lineales
5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
5.2 Núcleo e imagen de una imagen de transformación lineal.
5.3 La matriz de unatransformación lineal
5.4 Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

MAYO 2012


5.1 Introducción a las transformacioneslineales.
Una transformación lineal, TL, es una función, correspondencia, asignación o
transformación asociada a un sistema lineal de ecuaciones por medio de una
matriz.
Definición deTransformación Lineal.
Sean V y W vectores reales. Una transformación lineal T de V en W es una
función que asigna a cada vector v є V un vector único T v є W y que satisface,
para cada u y v en V y cadaescalar α.

Propiedades básicas de las transformaciones lineales.
Sea una transformación lineal T : V  W . Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,…, vn en V y todos los escalares α1, α2,…, αn.
1.- T(0) = 0.
2.- T(u-v) = Tu – Tv.
3.- T(α1 v1 +α2 v2+…+ αn vn) = α1 T v1 + α2 T v2 + … + αn T vn.
Las TL pueden descomponerse, ponerse en serie, una tras otra y la consecuencia es quela composición de las TL es otra TL.
La composición de las TL genera un producto entre matrices de tal forma que el producto de dos matrices da una matriz que representa la matriz de la TLcompuesta.
Existen dos tipos de transformaciones de especial interés, la transformación lineal de espacios vectoriales entre si mismos y la transformación lineal de un espacio entre el espaciounidimensional.
Sea el Sistema de Ecuaciones Lineales, SEL.
3 x +4y =7
5x +3y = 9

Rescribiendo el SEL.

Haciendo.

Asignando a la matriz M una función con propiedades especiales, llamadaTL, transformación Lineal. Una función T de clase TL , de la matriz M es.

T emplea la dupleta y la transforma en dupleta
Debido a que las dupletas están en R2, entonces.

El...