Unidad 6




INDICE

6.1 FUNDAMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES………………………………………2
6.2 METODOSDE UN PASO……………………………………………………………………………… 3
6.2.1 METODO DE EULER……………………………………………………………………………3
6.2.2 METODO DE EULER MEJORADO…………………………………………………………5
6.2.3 METODO DE RUNGE-KUTLA………………………………………………………………6
6.3 METODOS DE PASOS MULTIPLES………………………………………………………………..7
6.4 APLICACIONES A LAINGENIERIA………………………………………………………………..13
*. Anexos…………………………………………………………………………………………………………17












Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales:
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en
Ecuaciones diferenciales ordinarias:aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
es una ecuación diferencialordinaria, donde Y representa una función no especificada de la variable independiente  X, es decir,….
   Es la derivada de Y con respecto a X.
La expresión  es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita o desconocida. La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumplauna determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada, como por ejemplo las transformadas de Laplace.

Orden de la ecuación
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
Suponiendo que tenemos y’ = xy’’ + x^2 y + 3, el orden de la ecuación essegundo. Ya que es la derivada más alta en la ecuación.

Grado de la ecuación
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma  , es decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas aninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:

 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundoorden.



Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

Método de Euler.
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler o de las rectas tangentes.
 

Este se obtiene de considerar una aproximación lineal a la para la solución exacta Y (x) del problema de valor inicial.

 


La aproximación linealde Y 0(x) se representa como:
 

de donde, despejando Y (x + h) obtenemos:


Denotando Y (x+h) como yn+1 y f [x, y(x)] por f (xn, yn) obtenemos la fórmula del método de Euler.

Ejemplo:











Método de Euler mejorado:
Mejora el cálculo de la pendiente, utilizando dos puntos (inicial y final de cada intervalo) para luego obtener un promedio, es decir:


Ejemplo:






Método de Runge-Kutta
Losmétodos de Runge-Kutta extienden la fórmula general de los métodos de un paso, utilizando el siguiente.
 
Donde (xi, yi, h) se denomina función incremento y representa una aproximación de la pendiente del intervalo [xi, xi+1]. Dicha aproximación se calcula como una combinación lineal de las pendientes en puntos específicos del intervalo.
Ejemplo:






Métodos de Pasos Múltiples.
Los...