Unidad II Algebra Booleana

MATEMATICA DISCRETA
MAT-151

UNIDAD DIDACTICA II
ALGEBRA BOOLEANA
AUTOR:
MIGUEL ANGEL SANCHEZ ALMONTE

SANT O DOMINGO, D. N.
ENERO 2007

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UNIDAD 2: ALGEBRA BOOLEANA
2.0 Introducción
George Boole (1815-1864) fue el creador de un sistema algebraico para el estudio
sistemático de la lógica, que hoy se utiliza en diversas áreas, tales como el álgebra de
conjuntos, la digitalización, laprogramación y la teoría de las probabilidades.

El álgebra de Boole constituye una formalización muy adecuada para representar la
información digital, y permite no sólo expresar algebraicamente las operaciones lógicas
efectuadas por los circuitos digitales y determinar su respuesta, sino que también permite
simbolizar las conexiones de los dispositivos lógicos que constituyen a estos circuitos.

Entre lasaplicaciones del álgebra de Boole, podemos señalar las siguientes:


formalización algebraica de los requerimientos que debe cumplir un cierto circuito
lógico, estipulados por escrito mediante tablas de funcionamiento,



análisis y síntesis de circuitos digitales combinacionales,



comparación de distintas realizaciones circuitales,



minimización del número de cables y compuertas de loscircuitos,



codificación de información digital,



simplificación de tablas de decisión,

2.1 Algebra de Boole
Estableceremos ahora una definición formal, indicando el conjunto de axiomas que se
aceptan como base de este sistema.

Definición:
Un álgebra booleana B consta de un conjunto S que contiene dos elementos
distintos, el 0 y el 1, dos operaciones binarias + y . en S, y una operaciónunaria
‘ en S, y verifican los siguientes axiomas:

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a. Leyes asociativas:
(x + y) + z = x + ( y + z) ; (x . y) . z = x . ( y . z)

 x, y, z  S.

b. Leyes conmutativas:
x + y = y + x; x . y = y . x;  x, y  S.
c. Leyes distributivas:
x . ( y + z) = x . y + x . z; x + ( y . z) = (x + y) . (x + z)  x, y, z  S.
d. Leyes de identidad:
x + 0 = x ; x . 1 = x ;  x S.
e. Leyes de complementación:
x +x’ = 1 ; x . x’ = 0 ; x S.

En este caso, al álgebra booleana la denotaremos por ( S, +, . , ‘, 0, 1).

Observaciones: Siguiendo las convenciones, abreviaremos x . y mediante x y, obviando
escribir el punto. Además, cabe destacar que 0 y 1 son símbolos, y no tienen que ver en
general con los números cero y uno, así como también + y . denotan operadores binarios
y no tienen que ver con la adicióny la multiplicación habitualmente conocidas.
Ejemplo 2.1.1. De acuerdo con la definición anterior, las dos operaciones binarias son + y
. , y la operación unaria es ‘, el complemento de cada elemento.
Ejemplo 2.1.2. Sea U un conjunto universal. Si consideramos el conjunto S = P(U),
conjunto de partes de U, y las operaciones de unión, intersección y complemento de
conjuntos, por los resultadosvistos en Análisis resulta inmediato que (S,  ,  , ‘,  , U )
es un álgebra booleana.

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Ejemplo 2.1.3. Si consideramos el conjunto de todas las proposiciones, y si definimos
sobre él las siguientes operaciones:
+ representará al conectivo lógico  (disyunción)
. representará al conectivo lógico  (conjunción)
‘ representará al conectivo lógico  (negación)

y además asociamos al 0 el valor deverdad falso y al 1 el valor de verdad verdadero, de
lo estudiado en la unidad 1 de lógica proposicional resulta inmediato que todo esto
conforma un álgebra booleana.
Ejemplo 2.1.4. Un contacto, tal como una llave de luz eléctrica o un timbre, presenta dos
estados o posiciones claramente definidas: "cerrado" o "abierto", o bien "no pasa" o
"pasa", o "si" o "no". A cada uno de estos estados podemosasociarlos con el 0 y el 1,
respectivamente (ver figura 1)

figura 1

De forma más abstracta, la existencia de un contacto eléctrico puede representarse por
una letra mayúscula entre los puntos que conmuta:

figura 2

Al escribir A = 0 queremos significar que el contacto está abierto, y al escribir A =1,
significa que el contacto está cerrado.

Ahora pasaremos a definir operaciones entre...