Unidad Iii Y Iv Calcolo Integral

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ACAYUCAN
PROGRAMA EDUCATIVO
NGENIERIA EN GESTION EMPRESARIAL
EXPERIENCIA EDUCATIVA
CALCULO DIFERENCIAL
DOCENTE
LIC. ZERAFIN HERNANDEZ AGUILAR
TRABAJO
INVESTIGACION UNIDADES III Y IV
ESTUDIANTE
RODOLFO JAVIER GUTIERREZ FIERROS
GRUPO
105-D
05 DE OCTUBRE DEL 2011


3.-Límites y continuidad.
3.1. Límite de una sucesión:
Una sucesión tal quetiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, hay un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:
.
Notación

O bien

Ejemplos
• La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,... converge al límite 0.
• La sucesión 1, -1, 1, -1, 1,... es oscilante.
• La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16,... converge al límite 1.
• Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
•
•
•
Propiedades
• Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
• Si una sucesión tiene límite negativo, existe un término apartir del cual los términos de la sucesión son negativos.
• Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
• Si una sucesión tiende a menos infinito y entonces tiende a 0.


3.2. Límite de una función variable real:
La función f tiende hacia el límite L en a significa: para todo > 0 existe algún > 0 talque, para todo x, si , entonces .






El número l al que tiende f cerca de a se designa por (léase: el límite de f (x) cuando x tienda hacia a)... La ecuación

Tiene exactamente el mismo significado que la frase
f tiende hacia l en a.







3.3. Cálculo de límites.
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales,exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.



No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca aldominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.


Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.


3.4 Propiedades de los límites.
Teoremas sobre Límites
A) Límites de operaciones con funciones.
Sean f y g dos funciones se verifica que:
Si existe y
I. - = +II. - = –
III. - =
IV. - = , donde

Existen otros teoremas de los límites.
B) Límite de una constante:
Si k es una constante, entonces:

El resultado anterior es bastante evidente a partir de la gráfica de una función constante.

y

( c, f(c) ) f (x) = k



c x

No olvidemos que serepresentación es una recta horizontal situada a una distancia k (0 – k si k < 0) del eje de abscisas. Sabemos además que cualquier función constante está definida para todo número real por lo que si f(x) = k.

Dentro del producto de funciones existe un caso especial; el producto de una constante con cualquier función arbitraria. Si g(x) = k f(x), cuando existe , entonces:...