Unidad V Control

UNIDAD V:
EL LUGAR DE LAS RAÍCES
INTRODUCCIÓN
En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.
El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia alazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s.
Definición
Sea   la función de transferencia del sistema a lazo abierto. Pertenecen al lugar de raíces todos los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación característica:

Para el caso en que, no se trata entonces del lugar de raíces verdadero, sino, del lugar de raíces complementario. Una solución de la ecuación para un valor de  dado se llama lugar de la raíz.
El lugar de raíces es simétrico respectodel eje real.
Comienza en  los polos  de la función de transferencia en lazo abierto, y termina para, normalmente con valor nulo. Las soluciones para  corresponden al lugar de raíces verdadero, mientras que las soluciones para  corresponden al lugar de raíces complementario.

PRUEBA DE ROUTH-HURWITZ
El teorema de Routh–Hürwitz sirve para comprobar la estabilidad de los sistemas dinámicos.
Talcriterio busca las raíces del denominador de la función de transferencia del sistema y las coloca en el semiplano izquierdo o derecho, determinando así la estabilidad del mismo. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.
Este criterio solo vale si la función de transferencia del sistema está en lazo cerrado, si nolo esta, hay que realimentarlo haciendo: 

El criterio de Routh-Hürwitz también se utiliza para el trazado del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis estudia la función de transferencia del sistema en bucle abierto 1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje imaginario. Dichos puntosmarcan el límite de estabilidad del sistema, dicho en otras palabras, determinan el límite en el que los polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho complejo y por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como es evidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hürwitz, los resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual nos indicará a partir de qué valores de Kel sistema pasará de estable a inestable (ganancia K límite).

Procedimiento
Dado el sistema:

Donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.

El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1, …, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, elsistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.
Ejemplo: G(s) = 

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema esinestable por poseer dos elementos (-2,57 y 2) con cambio de signo.
MÉTODO DE ELIZONDO
El Dr. César Elizondo Gonzales presenta su tesis para obtener dicho grado:
“ESTABILIDAD Y CONTROLABILIDAD ROBUSTA DE SISTEMAS LINEALES CON INCERTIDUMBRE MULTILINEAL”
En la que expone una tabla equivalente a la tabla de Routh, donde se propone un método similar para encontrar las raíces de un polinomio que...