Unidad1

1.

P ROBLEM A3.F2 Distribuci´
on de velocidad en un viscos´ımetro Storme

Un viscos´ımetro de Storme consta esencialmente de dos cilindros conc´entricos, el interior
de los cuales gira,mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se determina
midiendo la velocidad de rotaci´on del cilindro interno por efecto de la aplicaci´on de un par
conocido. Es muy parecido al viscos´ımetrode Couette-Hatschek descrito en en 3,5

Deducir una expresi´on para la distribuci´on de velocidad en este tipo de aparatos, en funci´on
del par aplicado, para el flujo laminar de un flujo Newtoniano. Despreciense los efectos finales.

1.1.

Soluci´
on
Ecuaci´on de movimiento

δVθ Vθ δVθ Vr Vθ
δVθ
1 δP
δ 1 δ(rVθ ) 1 δ 2 Vθ 2 δVr δ 2 Vθ
δVθ
+Vr
+
+
+Vz
)=−
+µ[ (
+ 2 2 + 2
+ 2 ]+ρgθ
ρ(
δt
δr
r δθ
rδZ
r δθ
δr r δr
r δθ
r δθ
δz
(1)
Eliminando t´erminos:
µ[

δ 1 δ(rVθ )
(
)] = 0
δr r δr

(2)

Resolviendo ecuaci´on por variables separables:
δ 1 δ(rVθ )
(
)=0
δr r δr
1

(3)

1 δ(rVθ )
) = δr
r δr
1 δ(rVθ )
= C1
r δr

δ(

(4)
(5)

Despejando r de la ecuaci´on:
δ(rVθ )
= C1 r
δr
δ(rVθ ) =

C1 rδr

(6)
(7)

Resolviendo por ecuaciones separables:
rVθ =

C1 r 2
+ C2
2

(8)

Dividiendo entre r
r C2
Vθ= C1 +
2
r

(9)

Condiciones de frontera en las ecuaciones 10 y 11
Vθ = Ω0 KR @ r = KR

(10)

Vθ = 0 @ r = R

(11)

Sustituyendo condici´on de frontera 10 en la Ec. 9
Ω0 KR = C1

KR
C2
+
2
KR

(12)

sustituyendo condici´on de frontera 11 en la Ec.9
0 = C1

R C2
+
2
R

(13)

2C2
R2

(14)

Despejndo C1 de la Ec. 13
C1 = −
Sustituyendo la Ec.14 en la Ec. 12

2

Ω0 KR = −

C2
2C2 KR
+
2
R 2
KR(15)

K
1
+
)
R KR

(16)

Ω0 KR = C2 (−
Despejando C2 de la Ec. 16
C2 =

Ω0 KR
1
+ KR
)
(− K
R

(17)

KR
Ω0 KR
+ K
1
2
− R + KR

(18)

Sutituyendo la Ec. 17 en la Ec.12
Ω0 KR = C1
Despejando C1 de la Ec. 18
2Ω0 KR
−K
)R2
R

(19)

Ω0 KR 1
2Ω0 KR r
+
K
1
K
− R )R2 2 ( R − KR
)r

(20)

C1 = −

1
( KR

Sustituyendo ecuaci´on 17 y 19 en 9
Vθ = −

1
( KR

Factorizando la Ec.20
Vθ =
Dividiendo entre r laEc.21

K
R

r
Ω0 K
R
+ ]
1 [−
r
− KR R

(21)

Ω0 K
1
R
+ 2]
1 [−
− KR R r

(22)

δ Vθ
( )
δr r

(23)

Vθ
r

Vθ
=
r

K
R

τrθ = µr

Sustituyendo la 22 en la ecuaci´on 23 se obtiene:
τrθ = −µr

δ Ω0 K
1
R
[K
+ 2 ]]
1 [−
δr R − KR R r

(24)

Ω0 K
−3
1 (−2r R)
−
R
KR

(25)

Resolviendo derivada
τrθ = −µr K
simplificando la Ec. 24
3

τrθ = 2µ

( Rk

Ω0 K R
1
− KR
) r2

(26)

El torque va hacia laderecha
τ = F ∗ d = τrθ |r=KR A ∗ d

(27)

Sustituyendo la Ec.26 y r=KR y la formula del a´rea 2πKRL y la d es KR:
τ=

2µΩ0 K
R
) ∗ 2πKRL ∗ KR
1 (
− KR K 2 R2

K
R

(28)

Eliminando KR de la Ec.28:
τ=

2µΩ0 K
1 (R) ∗ 2π ∗ L
− KR
)

(K
R

(29)

Simplificando Ecuaci´on 29:
τ=
Despejando el t´ermino

Ω0 K
K
1
− KR
R

4πΩ0 KLRµ
1
(K
− KR
)
R

(30)

y sustituyendo en la Ecuaci´on. 22
Ω0 K
τ
= K
1
4πµRL
)
( R− KR

(31)

Sustituyendo la Ecuaci´on.31 en le Ecuaci´on. 22:
τ
1
R
Vθ
=
(− + 2 )
r
4πµL R r

4

(32)

2.

P ROBLEM A3.H2 Distribuci´
on de velocidad entre dos
cilindros que giran

Determinar Vθ (r) entre dos cilindros coaxiales de radios R y kR que giran con velocidades
angulares Ω0 y Ω1 respectivamente. Sup´ongase que el espacio comprendido entre dos cilindros
est´a ocupado por un fluidoisot´ermico imcompresible que se mueve con flujo laminar.

2.1.

Soluci´
on

Ecuacion de movimiento con coordenadas cil´ındricas

ρ(

∂Vθ
∂Vθ Vθ ∂Vθ Vr Vθ
∂Vθ
1 ∂P
∂ 1∂
1 ∂ 2 Vθ 2 ∂Vr ∂ 2 Vθ
+Vr
+
+
+Vz
)=−
+µ[ (
(V θr))+ 2
+
+
]+ρ θ
∂T
r
r ∂θ
r
∂z
r ∂θ
∂r r ∂r
r ∂θ2 r2 ∂r ∂Z 2

(33)

Eliminando t´erminos
µ[

∂ 1 ∂
(
(V θr))] = 0
∂r r ∂r

(34)

Resoluci´on de la ecuaci´on diferencial por variablesseparables:

∂(

1 ∂
(V θr)) =
r ∂r

∂θ

1 ∂
(V θr) = C1
r ∂r)

(35)
(36)

Resoluci´on de ecuaci´on diferencial por variables separables

∂(V θr) =
rV θ = C1

C1 r∂r

r2
+ C2
2

(37)
(38)

Dividiendo entre r y reduciendo t´erminos:
r C2
V θ = C1 +
2
r
5

(39)

Condiciones de frontera
Vθ = Ω1 KR@r = KR
(40)

Vθ = Ω0 R@R = R

(41)

Sustituyendo condiciones de frontera en la ecuaci´on:
Ω1 KR = C1

KR...