UnidadIV_FiltrosFIR

Universidad Nacional Experimental del Táchira
Vicerrectorado Académico
Decanato de Postgrado
Maestría en Ingeniería Electrónica

Procesamiento Digital de
Señales

IV. Diseño de Filtros FIR
La fase de diseño de un filtro digital consiste en la obtención o búsqueda de los
coeficientes del filtro para cumplir con ciertos requerimientos de la respuesta en frecuencia
o condiciones de diseño. Existenmúltiples métodos de diseño y a continuación se
describirán algunos de los métodos mas comunes para el diseño de filtros de respuesta
impulso finita.

4.1 Método de la Transformada de Fourier
4.1.1 Fundamentación
Este método se basa en el hecho que la respuesta en frecuencia de un filtro digital
es periódica cada 2 π [1], y se puede expandir a través de un serie de Fourier compleja de
la forma:
H(ω)=

∞

∑ h [n]e j ω n

(21)

n=0

donde h[n] es la respuesta impulso del filtro, es decir, los coeficientes del filtro y
pueden ser determinados por
π

h[n]=

1
∫ H (ω)e j ωn d ω ,−∞ 2 π −π

(22)

Esta ecuación muestra que h[n] tiene una longitud infinita y tiene dos lados, es
decir, se pueden determinar los coeficientes mediante
π

1
− j ωn
h[n]= π ∫ H (ω) e
d ω , n⩾0

(23)

0

y como larespuesta impulso es simétrica en torno a n=0, se tiene que
h[−n]=h[n], n⩾0

(24)

Por lo tanto, una respuesta en frecuencia deseada H (ω) se puede aproximar a un
filtro no recursivo (FIR) si se pueden calcular los sus coeficientes mediante la evaluación de
la ecuación (22) o la la ecuación (23). Sin embargo, estrategia presenta dos inconvenientes.
El primero es que la longitud de h[n] es infinita,lo cual implicaría que el orden del filtro
también seria infinito y el segundo es que la respuesta impulso presentaría valores distintos
de cero para n<0, lo cual implica que trata de un filtro no causal, siendo imposible su
realización en aplicaciones en tiempo real.
Estos inconvenientes son resueltos mediante la siguiente operación. Si consideramos
una respuesta impulso de duración finita h'[n] con una longitud L=2 M +1 , puede ser
obtenida mediante un truncamiento de h[n] , manteniendo una buena aproximación de la
respuesta en frecuencia de H (ω) , es decir,
h '[n]=

M.Sc. Luis Mora

{

h[n],
−M⩽n⩽M
0,
caso contrario

}

(25)

12

Diseño de Filtros FIR
M

H ' ( z)=

∑

h '[n] z−n

(26)

n=− M

Obteniendo así un filtro FIR cuya función de transferencia queda expresada como se
indicaen (26), el cual es claramente no causal. Sin embargo, se puede lograr un filtro FIR
causal retardando la secuencia h '[n] en M muestras.
b[n]=h '[n− M], n=0,1,2 ,…,2 M
L−1

B( z)=

∑

b[n] z−n

n=0
−M

=z

(27)

(28)

H' ( z)

Con esto se obtiene un filtro realizable físicamente, con una respuesta impulso de
duración 2MT, siendo T el periodo de muestreo, y dado que ∣e− jω M∣=1 , entonces
B( ω)=e−j ω M H '(ω)→∣B(ω)∣=∣ H '(ω)∣

(29)

Esto indica que la magnitud de la respuesta en frecuencia del filtro causal es igual a
la del filtro no causal descrito en (26), simétrico en tono a n=M, por lo que B( ω) presenta
una respuesta en fase lineal.
4.1.2 Estrategia de diseño
Como se mencionó anteriormente, este método de diseño se basa en la respuesta
impulso ideal del tipo de filtro a diseñar, quepuede ser determinada a partir de la Tabla 1.
Para el proceso de diseño se recomienda seguir los siguientes pasos.
•
•
•
•
•

Determinar las frecuencias de corte normalizadas del filtro a diseñar.
Calcular la longitud L deseada de la respuesta impulso del filtro FIR.
Calcular los valores de h '[n] a partir de las formulas presentadas en la Tabla 1.
Obtener los coeficientes del filtro causalbasados en la ecuación (26).
Construir la función de transferencia del filtro digital.
Ejercicio 4.1.1: Diseño de un filtro Pasa Bajo

Diseñe un filtro FIR LP de orden 4 con una frecuencia de corte de 800 Hz y una
frecuencia de muestreo de 5KHz utilizando el método de la transformada de Fourier y
obtenga la gráfica de su respuesta en frecuencia.
Solución:
Primero se obtiene la frecuencia de corte...

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