Universitario

U.N.A.N-LEON
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIAS

CARRERA: MATEMATICA AÑO: III
COMPONENTE: HISTORIA DE LA MATEMATICA
TEMA: LA CONJETURA DE POINCARE
ELABORADO POR: ALBERTO ISAAC SUAREZ LOPEZ
ANA CECILIA NUÑEZ MUÑOZ
La Conjetura de Poincaré es un célebre problema matemático planteado hace casi 100 años pero aún no resuelto (al menos no por ahora). Informalmente, puede considerarse comoun problema geométrico relacionado con los intentos de establecer una clasificación apropiada de las superficies. Existe una cantidad infinita de superficies distintas en el espacio. Ejemplos sencillos son los planos. Igualmente, las superficies de las esferas, de los elipsoides y de los toros. Además, los paraboloides, los hiperboloides, etc.

C:\Users\Esteven\Desktop\Nuevacarpeta\CHANCHO\0309ConPoi_files\Plano2.jpg C:\Users\Esteven\Desktop\Nueva carpeta\CHANCHO\0309ConPoi_files\Esfera2.jpg Superficie de una esfera
Plano

C:\Users\Esteven\Desktop\Nueva carpeta\CHANCHO\0309ConPoi_files\Elipsoide2.jpg C:\Users\Esteven\Desktop\Nueva carpeta\CHANCHO\0309ConPoi_files\Toro2.jpgSuperficie de un toro
Superficie de un elipsoide

C:\Users\Esteven\Desktop\Nuevacarpeta\CHANCHO\0309ConPoi_files\ParaboloideRev3.jpg C:\Users\Esteven\Desktop\Nueva carpeta\CHANCHO\0309ConPoi_files\Silla1.jpgParaboloide hiperbólico
Paraboloide circular
La Conjetura de Poincaré es una de las hipótesis más importantes de la topología, tanto es así que fue elegida como uno de los “Siete Problemas del Milenio”, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Son problemas con verdaderarelevancia en matemáticas y que, por diferentes hechos, se resisten a su resolución. La Conjetura de Poincaré pasó a ser llamada como tal y se convirtió en el Teorema de Poincaré, tras su demostración definitiva en 2002 por el matemático ruso Gregory Perelman.
En el siglo XIX se observó que en toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera, por lo que podemosafirmar que topológicamente sólo hay una variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa que es la esfera.
En 1904, el matemático francés Henri Poincaré conjeturó que el resultado obtenido para la 2-esfera de tenía un análogo para la 3-esfera de .
En otras palabras, en toda variedad de dimensión 3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión 3.C:\Users\Esteven\Documents\fotos de ksa\NFS Most Wanted\Scanned Documents\Downloads\esferapoincare.jpg
En una 2-esfera, cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. Esta condición caracteriza la 2-esfera. La conjetura de Poincaré extiende este hecho a la 3-esfera, más difícil de visualizar.
El enunciado preciso de la Conjetura de Poincaré es:
“Una variedad tridimensionalcerrada con grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional”.
C:\Users\Esteven\Documents\fotos de ksa\NFS Most Wanted\Scanned Documents\Downloads\poincareh.jpg Henri Poincaré (1854-1912)
Parece una sencilla afirmación y es difícil de imaginar un contraejemplo, pero las demostraciones detalladas que se fueron produciendo en el siglo XX resultaron incompletas o erróneas. Sigeneralizamos la Conjetura de Poincaré a la esfera de dimensión n en un espacio de dimensión n+1, tenemos que para n=1 es evidente la demostración y para n=2 ya se ha mencionado que fue demostrada en el siglo XIX. En 1961 Pieter Zeeman lo demostró para n=5 y ese mismo año el estadounidense Stephen Smale la demostró para n≥ 7. El caso n=6 fue demostrado por John R. Stalling en 1962 y ya hubo queesperar hasta 1986 para que el estadounidense Michael Hartley Freedman la demostrara en el caso n=4, lo que le valió conseguir una Medalla Fields en 1986. Curiosamente, el caso n=3 que es precisamente el que corresponde a la Conjetura de Poincaré, ha sido el que más se ha resistido a su demostración.
Perelman anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet. Finalmente, se...