usos de las derivadas en la vida diaria

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA.
RAZONES DE VARIACIÓN DE VARIABLES RELACIONADAS
Considérese un movimiento rectilíneo de una partícula. A
cada valor del tiempo
"t"
corresponde un cierto
desplazamiento " s " de la partícula; luego la distancia
recorrida es función del tiempo, es decir, que:
s = f (t )
Si " t " experimenta unincremento " Δt " , la variable " s "
también experimentará su correspondiente incremento " Δs "
Δs
y el cociente
es la razón de variación de " s " con
Δt
respecto a " t " . Como es distancia sobre tiempo, se le llama
rapidez de variación y equivale al módulo de la velocidad
media de la partícula. Así,
Δs
=v
= vmedia
media
Δt
En el movimiento uniforme la velocidad es constante por lo
quela velocidad media obtenida a partir del cociente
anterior sería la misma durante todo el tiempo considerado.
Sin embargo, cuando el movimiento es variado, esto es,
cuando la velocidad experimenta cambios, entonces el
módulo de la velocidad se obtendrá mediante la razón
instantánea de variación de " s " con respecto a " t " , la que
se determina a través del límite:
Δs ds
v = v = lim
=
Δt→ 0 Δt
dt
Con la aceleración, esto es, el cambio de la velocidad en la
unidad de tiempo, también es posible aplicar estos
conceptos y se obtendrían la aceleración media y la
aceleración instantánea:
Δv
=a
= amedia
media
Δt
Δv dv d2 s
a = a = lim
=
=
Δt → 0 Δt
dt dt 2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Ejemplo. Se tiene un movimiento vertical. De acuerdo a la
Cinemática, laexpresión que define a la aceleración es:
v − v0
a= f
si se trata de “caída libre”:
t
v0 = 0 y a = g ( aceleración de la gravedad)
y entonces,
v
g = f ⇒ vf = gt ( velocidad en caída libre )
t
Por otro lado, se sabe que la velocidad media está dada por
s
v=
donde " s " es el espacio recorrido. Esta velocidad
t
v + vf
y
también se obtiene mediante la expresión v = 0
2
v
como se tratade caída libre, v0 = 0 por lo que v = f de
2
donde:
vf s
vt
=
⇒ s= f
2t
2
Como vf = gt , se puede escribir que:
gt 2
s=
( distancia recorrida en caída libre )
2
Se aplican las primeras dos derivadas, que definen los
módulos de la velocidad y la aceleración, y se tiene:
gt 2
ds
s=
; v= v =
⇒ v = gt
2
dt
dv d2 s
=
⇒ a=g
a= a =
dt dt 2
Se partió de la Física y con elCálculo se llegó al mismo
resultado.
Ejemplo. Se deja caer un objeto y cuando han transcurrido
3 segundos, se requiere conocer su velocidad. Determinarla:
i) Mediante la aplicación numérica del límite de la
velocidad media.
ii) A partir de la derivada del espacio recorrido.
iii) Por medio de la fórmula cinemática correspondiente.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

Solución.
i)

Se sabe queen “caída libre”

gt 2
s = f (t ) =
2

y como

m
, entonces s = 4.9t 2 . La velocidad media se obtiene
2
s
Δs
con el cociente
y la instantánea a partir del límite:
Δt
Δs
v = lim
Δt → 0 Δt
Por lo que se construye la siguiente tabla:
g = 9.8

t

Δt

f ( t + Δt )

f (t )

Δs

Δs
Δt

3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3

0.5
0.3
0.1
0.08
0.06
0.04
0.020.008
0.004
0.0008
0.0004
0.00008
0.00006

60.025
53.361
47.089
46.48336
45.88164
45.28384
44.68996
44.335514
44.217678
44.123523
44.111761
44.102352
44.101764

44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1
44.1

15.925
9.261
2.989
2.38336
1.78164
1.18384
0.58996
0.235514
0.117678
0.023523
0.011761
0.002352
0.001764017

31.85
30.87
29.8929.792
29.694
29.596
29.498
29.43925
29.4195
29.40375
29.4025
29.400388
29.400283

↓

↓

↓

0

0

29.4

Como se observa, a medida que Δt → 0 , Δs → 0 y el
cociente de ambos incrementos se aproxima al valor 29.4 ,
que es la velocidad del objeto a los tres segundos de iniciar
m
su caída. Luego v = 29.4
s
ds
ii) Como s = 4.9 t 2 y v =
, entonces v = 9.8 t por lo...