Valores Propios Y Vectores Propios

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Valores propios y vectores propios
Definición Sea A una matriz de n x n. Se dice que un escalar λ es un valor propio de A si existe en R n un vector X, distinto de cero, tal que

AX = λ X
El vector X es el vector propio correspondiente a λ .
Valores propios = eigenvalores = autovalores = valorescaracterísticos = raíces latentes Vectores propios = eigenvectores = autovectores = vectores característicos

Calculo de los valores propios y de los vectores propios Sea A una matriz de n x n con el valor propio λ y su correspondiente vector propio X. Por lo tanto, AX = λ X , esta ecuación se reescribe como

AX − λ X = 0
lo que nos da

( A − λ I n )X = 0
Esta ecuación matricial representa un sistemade ecuaciones lineales, Una solución es X=0. Este sistema tiene soluciones distintas de cero sólo si la matriz de coeficientes ( A − λ I n ) es singular, es decir A − λ I n = 0 , al resolver esta ecuación para λ , se encuentran los valores propios de A. Polinomio característico de A se obtiene al resolver el determinante A − λ I n , en λ . Ecuación característica de A es la ecuación A − λ I n = 0 .Matriz característica de A es la matriz A − λ I n Los vectores propios se encuentran al sustituir los valores propios en la ecuación ( A − λ I n )X = 0 .

Ejemplo Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz ⎡ − 4 − 6⎤ A=⎢ 5⎥ ⎦ ⎣3
ALGEBRA LINEAL 1 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

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Solución Polinomio característico de A
−4−λ −6 ⎡1 0 ⎤ ⎡− 4 − 6⎤ A − λ I2 = ⎢ ⎥ − λ ⎢0 1 ⎥ = 3 5⎦ 5−λ ⎦ ⎣ ⎣3 = (− 4 − λ )(5 − λ ) + 18 = λ2 − λ − 2 = (λ − 2 )(λ + 1)

El polinomio característico es λ2 − λ − 2 Los valores propios de A son 2 y –1. Al usar estos valores de λ en la ecuación ( A − λ I n )X = 0 se encuentran los vectores propios correspondientes. Para cada valorpropio hay muchos vectores propios correspondientes. Usando λ = 2

( A − λ I n )X

⎛ ⎡− 4 − 6⎤ ⎡1 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 6 − 6⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎟ =0 =⎜ ⎢ −2 = ⎜ 3 5 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎟ ⎢ x 2 ⎥ ⎢ 3 3 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝ − 6 x1 − 6 x 2 = 0

3x1 + 3x 2 = 0 de donde se obtiene x1 = − x 2 . Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = − r y x 2 = r , donde r es un escalar. Los vectores propios de A quecorresponden a λ = 2 son los vectores distintos de cero de la forma
⎡ x1 ⎤ ⎡− 1⎤ ⎢x ⎥ = r ⎢ 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦

Usando λ = −1

( A − λI n ) X

⎛ ⎡− 4 − 6⎤ ⎡1 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 3 − 6⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎟ =0 = +1 =⎜ ⎢ ⎜ 3 5 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎟ ⎢ x 2 ⎥ ⎢ 3 6 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎝ − 3x1 − 6 x 2 = 0

3x1 + 6 x 2 = 0 de donde se obtiene x1 = −2x 2 . Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = −2 s y x 2 =s , donde s es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = −1 son los vectores distintos de cero de la forma
⎡ x1 ⎤ ⎡ − 2⎤ = s⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎣1 ⎦ ⎣ 2⎦
ALGEBRA LINEAL 2 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

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El conjunto de vectores propios para λ = 2 , junto con el vector cero,es un subespacio ⎧⎡− 1⎤ ⎫ unidimensional de R 2 con base ⎨⎢ ⎥ ⎬ . ⎩⎣ 1 ⎦ ⎭ El conjunto de vectores propios para λ = −1 , junto con el vector cero, es un subespacio ⎧ ⎡ − 2⎤ ⎫ unidimensional de R 2 con base ⎨⎢ ⎥ ⎬ . ⎩⎣ 1 ⎦ ⎭

Teorema Sea una matriz de n x n y λ un valor propio de A. El conjunto de vectores propios correspondientes para λ , junto con el vector cero, es un subespacio de R n . Aeste subespacio se le conoce como espacio propio de λ .

Ejemplo Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
⎡5 4 2⎤ A = ⎢ 4 5 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 2⎥ ⎣ ⎦

Solución El polinomio característico de A

5−λ 4 ⎡1 0 0 ⎤ ⎡5 4 2⎤ ⎢ 4 5 2 ⎥ − λ ⎢0 1 0 ⎥ = 4 A − λ I3 = ⎢ 5−λ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎢ 2 2 2⎥ 2 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ = 10 − 21λ + 12λ2 − λ3 = −(λ − 10)(λ − 1)
2

2 2 2−λ

Los valores...