Valores y vectores propios taller

Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´ticas
a
ALGEBRA LINEAL
Taller unidad IV -V
Transformaciones Lineales-Valores y Vectores Propios
Junio de 2013
I. Indicar cu´les de lassiguientes transformaciones son lineales, si lo son, para
a
dichas transformaciones encontrar: una base para el n´cleo y una para la
u
imagen , el rango y la nulidad. Adem´s verificar si lastransformaciones
a
son inyectivas o sobreyectivas, e indicar si son o no un isomorfismo.
1. T : R3 −→ R3 ; T (x, y, z) = (x − y, x + z, 2x − y + z).
2. T : P2 −→ P3 ; T [p(x)] = xp(x).
3. T : R3 −→ R; T(x) = x • z donde z = (1, −1, 1) es un vector fijo.
4. T : V −→ V ; T (v) = v + u, donde u ̸= 0 es un vector fijo de V .
5. T : M2×2 −→ R ; T (A) = tr(A).
6. T : M2×2 −→ M2×2 ; T (X) = XA − AX, dondeA =

[
]
0 1
1 0

7. T : M3×3 −→ M3×3 ; T (A) = At + A
8. T : Mn×n −→ R ; T (A) = ρ(A) (rango de A)
II. En cada caso suponer que T es transformaci´n lineal
o
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
1
1
10
−1
1. T : R2 −→ R2 es tal que T
=
,T
=
, Hallar T
.
3
1
1
1
3
2. Si T : P2 −→ R es tal que T (x + 2) = 1, T (1) = 5, T (x2 + x) = 0.
Obtener T (2 − x + 3x2 ).
[
]
[
]
[
]
1 00 1
1 0
3. T : M2×2 −→ R; T
= 3, T
= −1, T
= 0 =
0
1 0
1 0
[
]
[ 0 ]
0 0
a b
T
; encontrar T (
).
0 1
c d
4. T : V −→ V y talque T (v + 2w) = 3v − w y T (v − w) = 2v − 4wdeterminar T (v) y T (w).

1

III. Sea T : V −→ W una transformaci´n lineal y sean v1 , ..., vn vectores de
o
V.
1. Si el conjunto {T (v1 ), ..., T (vn )} es linealmente independiente en W ,
demostrarque {v1 , ..., vn } es linealmente independiente en V .
2. Encontrar T : R2 −→ R2 de tal forma que el rec´
ıproco del apartado
anterior sea falso.
3. Si {v1 , ..., vn } genera a V , entonces {T(v1 ), ..., T (vn )} genera Im(T ).
IV. Sea T : V −→ W una transformaci´n lineal tal que dim(V ) =dim(W ),
o
demostrar:
1. Si T es inyectiva, entonces T es sobre.
2. si T es sobre, entonces T es...