Valuación De Un Call Europeo.

Bases Actuariales de las Inversiones y Financiaciones Docentes: Javier García Fronti, Darío Bacchini, Lara V. Vazquez

Valuación de un Call Europeo – Black & Scholes VALUACIÓN DE UN CALL EUROPEO. DESARROLLO DE FÓRMULA DE BLACK & SCHOLES
Objetivo Se presenta en este trabajo la derivación de la fórmula de valuación de un Call Europeo sobre una acción de acuerdo a la fórmula planteada por Black &Scholes. A fin de alcanzar el objetivo propuesto se siguen los siguientes pasos: 1. Se establecen los supuestos básicos del modelo. Comportamiento del subyacente. 2. Se especifica la metodología de réplica de cartera. Ecuación diferencial de Black & Scholes. 3. Se describen los cálculos estocásticos a seguir al momento de realizar la valuación 4. Se arriba a la fórmula de valuación de un calleuropeo sobre una acción sin dividendos

Supuestos del modelo El modelo presentado por Fischer Black y Myrton Scholes se enmarca dentro de un supuesto de equilibrio general. La derivación de la ecuación diferencias parcial de Black & Scholes resulta la base de la valuación de distintos instrumentos derivados. El marco dentro del cual se valida el modelo tiene las siguientes características: elsubyacente es una acción que no paga dividendos durante la vida del derivado el precio del activo subyacente sigue un movimiento geométrico browniano (como ya se ha visto esto implica que la distribución del precio del subyacente al momento de ejercicio es lognormal) la volatilidad del precio del subyacente es constante se permiten las ventas en descubierto el mercado del subyacente es líquido ydivisible no hay costos de transacción el mercado opera en forma continua existe un mercado de crédito en el cual pueden tomarse o prestar fondos a una tasa libre de riesgo de incumplimiento: constante y a todos los plazos no existen oportunidades de arbitraje (esto es, el mercado está en equilibrio)

Estos supuestos pueden transcribirse para hacer un análisis estocástico:

Página | 1

(a)Comportamiento del subyacente S Si el precio del activo subyacente sigue un proceso geométrico browniano puede escribirse:
dS    S  dt    S  dW
(1)

El proceso que describe al subyacente es un proceso de Itô. Dado que se procede a valuar un derivado cuyo valor depende del tiempo y del valor del subyacente S, t  es posible aplicar el Lema de Itô. Este lema establece que cualquierproceso que sea función del tiempo y de un proceso de Itô es también un proceso de Itô con tendencia y volatilidad calculada a partir de la tendencia y volatilidad del proceso subyacente. De manera general, sea St el proceso subyacente y   S, t  puede escribirse: Si dS  aS, t   dt  bS, t   dW 

    1  2     d    aS, t     b 2 S, t dt    bS, t  dw 2  S t 2 S  S   

(2)

Reemplazando en la expresión (2) los valores de tendencia y volatilidad de la expresión (1) puede conocerse el comportamiento del instrumento derivado:

    1  2     d     S     2  S 2 dt      S  dw  S  t 2 S 2 S    

(3)

(b) Instrumentos del mercado de crédito Si se considera la existencia de un mercado de crédito al cualpuede tomarse o prestarse plata a una tasa constante e igual a la tasa libre de riesgo (tasa con composición continua “r”) el monto de la deuda o de la inversión, a la que puede denominarse B, sólo depende del paso del tiempo. Sea B0 la deuda / inversión inicial esta crecerá de acuerdo a la tasa de interés:
Bt  B0  e rt  dBt  B0  r  e rt dt  dBt  Bt  r  dt
(4)

(c) No existeoportunidad de arbitraje La existencia de un mercado en equilibrio es fundamental al momento de entender la metodología de réplica de cartera. En el título siguiente se detalla este punto del cual se deriva la ecuación diferencial de Black & Scholes que permitirá arribar a la valuación del call.

Réplica de Cartera. Ecuación diferencial de Black & Scholes El supuesto de mercado en equilibrio implica...