variables discretas

1

VARIABLES ALEATORIAS
Variable: Característica de los individuos u objetos
Definiciones
Aleatoria: Azar
1. Una variable aleatoria ( v.a.) es una función que asigna un número real a cada
resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.
2. Notación: - Las v.a. se denotan con una letra mayúscula tal como X ( Usualmente
X,Y,Z ) y el valor posible de X se denota con una letra minúsculax ( o bien X=x )
3. El conjunto de posibles valores de la v.a. X recibe el nombre de Rango de X.

2

Ejemplos
1.

Llamadas telefónicas recibidas por una Cía. en un día determinado
Sea X: Número de llamadas ( X∈{0,1,2,3,...,n}, n: conocido)

2.

Lanzar una moneda hasta que salga cara por primera vez
Sea X: Número de sellos ( X∈{0,1,2,3,...} )

3.

Largo del cable de un artefacto eléctrico ( porej. Plancha )
Sea X: “ El largo del cable ” ( X∈ Intervalo, si hay especificaciones técnicas )

3

Variables Aleatorias Discretas ( v.a.d.)
Es una v.a. con un rango finito ( ejemplo 1 ) o infinito numerable ( ejemplo 2 )

Distribución de probabilidades
Es la forma de resumir las probabilidades en una “Tabla“. Su esquema es el siguiente:
x

x1

P( X = x)

P( x1 )

x2
P( x2 )

…

xk

… P( xk )

Lafunción de probabilidad
Es la regla ( o fórmula ) que asigna probabilidades a los valores de las v.a.
k

Nota: P(x k ) ≥0 y å P ( xi ) = 1
i =1

4

Ejemplo 4
Experimento: Se lanzan dos monedas honestas.
Ω = { ss , cs , sc , cc }

Sea X: N° de caras ( X∈{0,1,2} ) y P(X=0) = 1/4 , P(X=1) = 1/2 , P(X=2) = 1/4 .

G

G

La distribución de Probabilidad es: ( “ La tabla “ )
x

0

1

2

P(X=x)

1/4

1/21/4

La función de Probabilidad es: ( “ La regla o fórmula “ )

æ2ö
P(X = k) = ç ÷
èkø

æ1ö
ç ÷
è 2ø

2

, k = 0,1,2.

5

La Función de Distribución Acumulada ( F.D.A.)
Se define la F.D.A. de una v.a. X como

FX (k) = P(X ≤ k) =

å P(xi)

xi ≤ k

Propiedades:

1° 0 ≤ FX (k) ≤ 1
2° Si p ≤ q Þ = FX (p) ≤ FX (q) ( No decreciente )
3° FX (x) es contínua por la derecha

6

... cont. Ejemplo 4
La F.D. A. está dada por:
FX(k) = P( X≤k )

X=k

P(X=k)

0

1/4

1

1/2

1/4+1/2 = 3/4

2

1/4

1/4+1/2+1/4 = 1

1/4

Otra manera de escribir la F.D.A. es:
ì 0
ï 1/4
ï
FX (x) = í
ï3/4
ïî 1

;

x<0

; 0 ≤ x <1
; 1≤ x < 2
;

x≥2

7

Gráficamente La F.D.A. en nuestro ejemplo es:

8

Valor esperado o Esperanza de una v.a. X
La esperanza se puede interpretar como el centro de gravedad

E( X ) = å k P(X =k)
k

Propiedades
1° E( c X ) = c E( X ), donde c es constante
2° E( X + Y ) = E( X ) + E( Y )
3° Si X1,X2,...,Xn son v.a. Entonces
n

n

i =1

i =1

E( å X i ) = å E( X i )
4° E( g(X) ) = å g(k) P(X = k)
k

9

Varianza de una v.a. X
La varianza trata de describir la dispersión de los datos

(

VarX = E ( X - EX ) 2

)

Propiedades

1° Var X = E( X2 ) - { E(X) }2
2° Var( c ) = 0 , c : constante2° Var( a X + b ) = a 2 Var X , con a y b constantes

Definición
Se llama desviación estándar de una v.a. X a la siguiente expresión:

σX = +

VarX

También mide la dispersión de los datos y tiene la misma unidad de medida que
la v.a. X.

10

Modelos para v.a.d.
Modelo Bernoulli
Se llama experimento de Bernoulli a un experimento con las siguientes
Características:
1° Se realiza un experimento condos resultados posibles: w0 y w1 tal que:
P( w0 ) = p y P( w1 ) = q = 1 – p
2° La repetición del experimento no altera las probabilidades de w0 y w1
Sea X una v.a. se dice que X es Bernoulli ( Notación : X~ Bern(p) )

ì1 ; si ocurre w 0
Si X = í
î0 ; e.o.c.

La función de probabilidad está dada por: P(X=x) = p x q 1 – x x = 0, 1.
EX = p ,

Var X = p q

11

Modelo Binomial
Si se repite unexperimento Bernoulli n veces, se llama v.a. Binomial
( o modelo Binomial ) a:
X : N° de veces que ocurre w0 y la probabilidad asociada está dada por :

æ nö x n - x
P(X= x)= ç ÷ p q
, x= 0,1,2,..., n.
è xø
E X = n p , Var X = n p q
Notación: X ~ Bin( n,p )
Observación: Bern(p) ≡ Bin ( 1, p ).

12

Ejemplo
Sea X: Número de varones en una familia de tres hijos y sea el evento
V: “Ser varón” , con P(V)=p...