Variables

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES.

Una serie de aspectos de la gráfica de una función vistos anteriormente (monotonía, máximos y mínimos) y otros que veremos posteriormente, pueden estudiarse fácilmente mediante derivadas. La mayor parte de las funciones elementales con las que trabajamos son derivables en casi todos los puntos de su dominio; es por esto por lo que en el presentetema trataremos de caracterizar dichos conceptos mediante derivadas.

REGLA DE L'HÔPITAL.

DEFINICION.-

Se dice que una función [pic] presenta en x = a una forma indeterminada, cuando no se puede saber si tiene límite en dicho punto sin hacer un estudio especial de ese límite.

Los casos de límite indeterminado que se nos pueden presentar son:

[pic]

Al presentarsealguna de estas situaciones, es conveniente transformar la expresión de la función en otra equivalente a la que puedan aplicarse las reglas conocidas, o en caso contrario, calcularlo directamente.

Para funciones derivables el Teorema de L'Hôpital nos facilita el cálculo de límites indeterminados.

REGLA DE L'HÔPITAL.

Si las funciones [pic] son derivables en un entorno de a y tales que[pic] entonces, si existe [pic] se verifica que [pic]

La demostración de este teorema tiene su fundamento en el Teorema de Cauchy.

La regla de L'Hôpital también se puede aplicar cuando [pic] pues haciendo el cambio de variable [pic] estaríamos en el caso anterior.
Es válida la misma regla cuando [pic] tienden a ( cuando [pic]

EJEMPLOS.

• [pic]Aplicamos L’Hôpital:

[pic]

A veces es necesario aplicar más de una vez la regla de L’Hôpital para quitar la indeterminación:

• [pic]
Entonces:
[pic]
Nuevamente aplicaríamos la regla de L’Hôpital:
[pic]
Aplicamos, otra vez, la regla de L’Hôpital:
[pic]

Para las otras indeterminaciones tendríamos:

• Límites de la forma [pic]
Suponiendo que [pic] y [pic]se efectúa el cambio [pic] con el que pasaríamos a la indeterminación [pic] y, entonces, aplicaríamos la regla de L'Hôpital.

También se puede hacer [pic] y nos quedaría la indeterminación [pic]

Ejemplo:
[pic]
Efectuando cualquiera de las transformaciones anteriores, nos queda:
[pic]
Aplicando L’Hôpital:
[pic]
• Límite de la forma [pic]

Sisuponemos que f y g tienden a ( para estudiar el límite de f ( g podemos hacer el cambio: [pic] que suele ser un límite más fácil de calcular.

Ejemplo:

[pic]

En este caso, nos resulta más cómodo efectuar la diferencia para pasar a la indeterminación [pic] y aplicar la regla de L’Hôpital:

[pic]

[pic]

• Límites de la forma [pic]Para quitar este tipo de indeterminación se suele utilizar la expresión: [pic] pasando así a alguna de las indeterminaciones anteriores.

Ejemplo:

• [pic]
[pic]

• [pic]

[pic]

EJERCICIOS.

[pic] [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic] [pic]
FUNCIONES MONÓTONAS.

Recordemos que unafunción es monótona cuando es creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente.

Sea f una función definida de D en [pic] y sea a un punto perteneciente a D.

[pic]

Tratemos ahora de caracterizar esta monotonía para funciones derivables.
De la tasa de variación media (T.V.M.) que aparece en la definición de la monotonía, podemos pasar a laderivada sólo con tomar límites. A partir de aquí, podemos enunciar el siguiente

TEOREMA.

Sea f una función derivable en un punto [pic] Si [pic] entonces f es estrictamente creciente en el punto a.

Demostración.

Puesto que existe [pic] y es positiva, entonces existirá el límite de la tasa de variación media y también será positivo:
[pic]

Teniendo en cuenta la relación...