variables




Funciones de varias variables

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tresvariables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
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Ejemplos 

1.
f(x, y) = x - y
Función de dos variables

f(1, 2) = 1 - 2 = -1Sustituya x por 1 y y por 2

f(2, -1) = 2 - (-1) = 3
Sustituya x por 2 y y por -1

f(y, x) = y - x
Sustituya x por y y y por x
2.
h(x, y, z) = x + y + xz
Función de tres variables

h(2, 2, -2) = 2 + 2 + 2(-2) = 0    
Sustituya x por 2, y por 2, y z por -2.
3. Sea P(x, y) = x2 + xy - y2. Introduce los valores de p en la siguiente tabla, y pulse "Verifica".


x →




-1
0
1y
-1



↓
0




1



    
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Ejemplos: funciones lineales, de interacción, y de distancia
Funciones lineales 
Una función lineal de los variables x1, x2, ... , xn es una función de la forma
f(x1, x2, ... , xn) = a0 + a1x1 + ... + anxn
donde a0, a1, a2, ..., an son constantes.
Funciones de interacción 
Si añadimos a una función lineal una o más terminasde la forma bxixj (b constante), obtenemos una función de interacción de la segunda orden.
Funciones de distancia 
La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una función de los dos variables x y y:
d(x, y) = [(x - a)2 + (y - b)2]1/2.
(Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se expresa por
d(x, y) =[x2 + y2]1/2.
La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por
d(x, y, z) = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]1/2.
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Ejemplos
Funciones lineales y de interacción
1.
f(x, y) = 2 + 4x -y
Función lineal de x, y

2.
C(x, y, z) = x -3y + 2z    
Función lineal de x, y, z

3.
R(x, y, z) = 4 - x -3y + 2z + 0.03xy - 0.02xz

Función deinteracción de x, y, z
4.
P(x, y, z) = x + y2 - 0.03z  es


5.
Q(x, y, z) = 1 + xy     es


6.
T(x, y, z) = 4       es


Funciones de distancia 
1. La distancia entre los puntos (3, -2) y (-1, 1) es
d = [(-1-3)2 + (1+2)2]1/2 = 251/2 = 5.
2. La distancia de (6, 8) al origen (0, 0) es 
   
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Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables
Puntosen espacio tridimensional tienen coordenadas como montrado en la siguiente figura.

La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz. 
(Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz. 
(Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.)
Lacoordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy. 
(Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

Gráfica de una función de dos variables 
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es elconjunto de todos puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).

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Ejemplos
La siguiente figura demuestra donde se queda el punto (1, 2, 3) en espacio tridimensional.

La gráfica de f(x, y) = x2 - y2 se muestra en la siguiente figura.

Hay muchos más ejemplos en el libro de texto. Si quiere experimentar a hacer gráficas de superficies en su computadora, pruebe el Graficador de...