Variaciones En El Tiempo Relacionadas

Variaciones en el tiempo relacionadas
Un problema de razones relacionadas implica dos cantidades que varían con
respecto al tiempo y una ecuación que expresa alguna relación entre ellas. Lo
usual es que nos den los valores de esas cantidades en algún instante, junto con
todas sus razones de cambio con respecto al tiempo, con excepción de una.
El problema consiste, por lo general, en encontrar larazón de cambio con
respecto al tiempo con respecto al tiempo que no fue dada, para algún instante
especificado en el problema.
El método común para resolver estos tipos de problemas es utilizar la
diferenciación implícita de la ecuación que relaciona las cantidades propuestas.
Ejemplo: Si x , y son funciones derivables de t relacionadas por la ecuación
y = x2 + 3 ; hallar

𝑑𝑦
𝑑𝑡

; dado que

𝑑𝑥𝑑𝑡

= 2 Cuando x = 1

Solución:
La ecuación que relaciona ambas cantidades es y = x2 + 3; derivando con
respecto a t, obtenemos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Ahora, sustituimos los valores dados
𝑑𝑦
= 2 (1)(2) = 4
𝑑𝑡
Una buena forma de resolver estos problemas consiste en interpretar
matemáticamente la expresión verbal dada.
 Dibuje una figura y marque como variables las diversas cantidades dadas
en el problema.
Analizar el enunciado del problema y distinguir cuáles razones se
conocen y cuál es la razón que se requiere.
 Plantear una ecuación que relacione las variables.
Profesor: Narciso Agudo

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 Diferenciar implícitamente esta ecuación con respecto al tiempo t.
 Sustituir los datos numéricos dados en la ecuación y despejar la
incógnita si es necesario.
Advertencia:
No sustituya los datosprematuramente hasta tanto no haya diferenciado
implícitamente.
Ejemplo: Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pie3/min.
¿A qué razón varía el radio cuando mide 3 pies?
Solución:
Paso 1: Identificar los datos dados y las incógnitas.
Dado:

𝑑𝑉
𝑑𝑡

= 20 𝑝𝑖𝑒𝑠 3 /𝑚𝑖𝑛 r = 3 pies

Incógnita:

𝑑𝑟
𝑑𝑡

=?

Paso2: Establecer una ecuación que relacione el problema con los datos.
Volumen de unaesfera: V =

4
3

𝜋𝑟3

Paso 3: Derivar implícitamente con respecto a t.
𝑑𝑣
𝑑𝑟
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Paso 4: Sustituir los datos
20 = 4 𝜋 (3) 2
𝑑𝑟
𝑑𝑡

20

𝑑𝑟
𝑑𝑡

5

= 4 𝜋 9 = 9 𝜋 Pie/min

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Ejemplo: Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de
un radar. Sea s la distancia (en millas) entre el avión y el radar. Si s está
decreciendo a razón de 400millas /hora cuando s = 10 millas. ¿Cuál es la
velocidad del avión?

S
y

x

Paso1: Datos e incognitas
Sea y = 6 millas,

𝑑𝑠
𝑑𝑡

= −400 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠/ℎ cuando s = 10 millas

El avión vuela en línea recta hacia el radar, llamaremos x a esa trayectoria,
luego

𝑑𝑥
𝑑𝑡

=?

observació: Al el momento del estudio el avión está a 6 millas de altitud lo que
significa que esa cantidad no varía porque el avión vuela enlínea recta.
Luego, la ecuación que relaciona los datos es: x

2

+ 36 = s

2

Paso 2: Derivar la ecuación implícitamente con respecto al tiempo
2𝑥

𝑑𝑥
𝑑𝑠
= 2𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡

Paso3: Sustituir los datos
2𝑥

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𝑑𝑥
= 2 (10)(−400)
𝑑𝑡

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Paso 4: Hallar el valor de x:
𝑥 = √100 − 36 = √64 = 8
Paso 5: Sustituir
2 (8)

𝑑𝑥
= 2 (10)(−400)
𝑑𝑡

𝑑𝑥
= −500 𝑚𝑖/ℎ
𝑑𝑡
Ejemplo: Un globo que seeleva del suelo a 140 pies/min es seguido mediante un
telémetro situado en un punto A, a 500 pies del punto de despegue. Hállese la
razón de cambio del ángulo de elevación A y la razón de cambio de la distancia
r cuando el globo está a 500 pies sobre el suelo.
Solución:
𝑑𝑦

Datos: 𝑑𝑡 = 140 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑚𝑖𝑛
𝑑𝜃
𝑑𝑡

r

=?

r =?

x = 500 pies (no varía)

Cuando y = 500 pies (fijo)

y
Ѳ
x

Paso 1: Parahallar

𝑑𝜃
𝑑𝑡

, primero debemos hallar Ѳ. Como x = 500 e y = 500, entonces

500

Tan θ=500

𝑇𝑎𝑛𝜃 =

Θ = 𝑇𝑎𝑛−1 (1)

𝑦 = 500 𝑇𝑎𝑛𝜃

Θ=

𝜋
4

𝑦
500

𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 500 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡
140 = 500 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃

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𝑑𝜃
𝑑𝑡

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140

𝑑𝜃
=
𝜋
𝑑𝑡
500 𝑆𝑒𝑐 2 4
𝑑𝜃
14
=
𝑑𝑡
50 √2

2

𝑑𝜃
7 𝑟𝑎𝑑
=
𝑑𝑡
50 𝑠𝑒𝑔

Paso 2:
Relacionamos los datos con el teorema de Pitágoras.
x

2

+ 500

2

=r

2

2𝑥

𝑑𝜃
𝑑𝑟
=...