Variados

Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, el método de Euler es la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de variables , quedependen de . Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma: Escogiendo un paso de pequeño se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de en el tiempo se necesitan conocer en el tiempo . La fórmula sería: Entonces para averiguar los valores de a cualquier basta conocer sus valores iniciales (condiciones iniciales a y resolviendoiterativamente con un paso hasta llegar a ese valor de
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Método de Runge-Kutta
El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Se trata de un método por etapas que tienela siguiente expresión genérica:
,
donde:
i = 1,...,e
con aij,bi,ci constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,...,e, los esquemas son explícitos.

Ejemplo:Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = tn y otra en t = tn + Δtn. F (u, t) en la primera etapa es:

y para estimar F (u, t) en t = tn + Δtn usamos un esquema Euler

Con estos valores de F introducidos en la ecuación nos queda la expresión:

Las constantes propias de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c2 = 1.

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, tambiénllamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).
Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.
Métodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es sólo unmétodo sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kuttaes usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:
Donde

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es unpromedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto usando el método de Euler
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y
k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h4).

Runge-Kutta
Es un método de un paso, es decir, para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de...