Variados

Integrales
1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) F(x) 



x2 x

e  t (sent  cos t)dt

b) G(x) 



x3 0

senx cos tdt .

2. a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes integrales:



dx 1 x 2
1

 3  x
2

3

dx

2

b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el

áreaencerrada entre la función f(x) 
el intervalo [-2,2].

x 4  x2

y el eje de abscisas (OX) en

3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas:

y1  a) En el intervalo [2,3] b) Para x 3

1 1 , y2  3 : x 1 x  x
2

 1 1 4.- Calcular   ,  2 2

 1 y   2

5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias
a) 
 1

senx dx xp

con p >0

b) 



1

senx cos x dx x3

c) 

 0

1 dx 1  x  x

6.- Dada la función f(x)  2x 1  x 2 se pide: a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas 7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
a) r 2  3sen  2  b) r  2sen  3 

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 x(t)  3  2 cos t 8.- Calcular el área encerrada dentro de la curva   y(t)  2  5sent

Integrales

9. Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación x es: y  c cosh   c Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.

cO x

10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad ¿Cuál es la profundidad del agua? 11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el arco de curva y=senx entre x = 0 y x =  y cuyas secciones planas perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región. 12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva: cos(t)[2 cos(2t)]   x(t) =  4   y(t) = sen(t)[2  cos(2t)]  4  13.- Dada la hipérbola x 2  y2  1 . Hallar: a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa positiva. b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x  1. c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la hipérbola respecto del eje X siendo x  1, 2  .  

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Integrales
 x(t)  a(t  sent) 14.- Para un arco de cicloide  . Se pide:  y(t)  a(1  cos t) a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas. b) La longitud. c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X alrededor del eje OX. d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por lacurva y el eje X alrededor del eje OY. e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide respecto del eje X. 15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide: a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas. b) La longitud. c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X alrededor del eje OX. d) La superficie derevolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje X. 16.- Determinar la curva que pasa por el punto (4π2,1) y cuya pendiente, en cos x cada punto (x,y), tal que x>0, es . x 17.Hallar el valor de que cumpla que



 f(x)
0

2

dx =2,

siendo

si 0  x  1 3 ¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que f(x)=  si 1  x  2 5 f(c)=? ¿Contradice esto el teorema delvalor medio integral?

18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide: a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -/2 y /2. b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de corte hallados en el apartado anterior.

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Integrales
19.- Dada la función f(x) = pide: x  3x 2 ...