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Ing. Informática

Materia: Cálculo Integral

Temas:
3.3 Calculo de Volúmenes De solido de solido de revolución
3.4 Calculo de Centroides
3.5 Otras Aplicaciones

Docente: I.Q. María Del Carmen Torres Torres

Alan Michel Reyes García

Grado: “2-B” Turno: Vespertino


3.3 Calculo de Volúmenes De solido de solido de revolución
Lossólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Método del disco.
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de estedisco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = wR2π
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es la suma de Riemann asociada a la partición, y queda un volumen aproximado del sólido es:

Fórmula del volumen por discos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

EJEMPLO 1: La región entre la curva
, y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen.

SOLUCION: Ayudados por lasugerencia anterior
1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida:
2. Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir:

3. LIMITES DE INTEGRACIÓN:
Estos límites nos lo fueron

dados en el enunciado del ejemplo:


4. FORMULACION DE LA INTEGRAL:
Aplicando la expresióncorrespondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:


Por tanto el volumen del sólido es:







METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS.
Ahora vamos a exponer el último método, quizás el mas potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas).
Antes de trabajar con este método,consideremos la siguiente figura:



Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas X=a y X=b, y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a saber R1=f(y) y R2=f(y)
¡Esto era a lo quequeríamos llegar! Ambos radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto que en f se pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el método de Arandelas ni mucho menos el método del Disco. Luego tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmentopero PARALELO al eje de rotación (eje y).
El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:
Donde representa el grosor del casquillo (grosor del segmento).

Ahora que la suma de todos los volúmenes de los casquetes cilíndricos tomados del sólido, generan aproximadamente el volumen del sólido.

Se expresa por medio de lafunción h=f(x). Por último si integramos VC con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber:

Nota: dx también representa el grosor del casquillo.

La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x por y
Para y y
En los siguientes ejemplos aplicaremos estas fórmulas y mostraremos su...