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UNIDAD I: CÁLCULO INTEGRAL

CONTENIDOS: Antecedentes Históricos.

Función Primitiva.

Propiedades de la Integrales Indefinidas.

Métodos de Integración.

Integrales Indefinidas.

Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Aplicaciones de las Integrales Definidas.

Integrales Indefinidas y su aplicación en el ámbito laboral.

CALCULO INTEGRALIntroducción:

Muy bien pudiera considerarse al cálculo diferencial, como la reformulación de las matemáticas elementales.
El Cálculo Integral constituye gran parte de la base sobre la que se apoya la alta matemática y es el lenguaje en que es expresan las ciencias y técnicas modernas.

En las carreras de Ingeniería es muy necesario el dominio de todas las operaciones que derivan delanálisis matemático de las funciones, pues te permitirán desarrollar problemas de difícil solución a partir de un planteamiento lógico, resolverlo más fácilmente si se plantea en términos de las definiciones y teorema fundamental del cálculo diferencial.

El siguiente compendio de guías de ejercicios persigue como objetivo principal:

➢ Relatar las circunstancias históricas vinculadas con eldesarrollo del Cálculo II.

➢ Utilizar los conceptos matemáticos de derivadas en la interpretación, planteamiento y búsqueda de solución a problemas que se presentan en la vida laboral.

➢ Relacionar los conceptos y procedimientos del Cálculo Integral para el desarrollo de otras disciplinas y su aplicación en el desempeño profesional..

INTEGRACION O ANTIDERIVADAS

▪ Sea f(x) una funciónreal tal que [pic] representa una ecuación diferencial.

¿Cuál es la función primitiva F(x) cuya derivada es f(x)?

Ejemplo: Sea [pic]
¿Cuál es la función primitiva cuya derivada es [pic]?

Solución:
- nos piden la primitiva, de donde proviene, osea hay que devolverse al origen de la función.
- para que resulte [pic]como derivada, significa que se restó (-1) al exponente, osea queantes era [pic].
si derivamos [pic] resulta [pic] y no [pic].
por lo tanto se debe multiplicar por el inverso del exponente y a éste sumarle 1(+1).
- luego la primitiva F(x) de la función es [pic] de modo que su derivada corresponde a [pic] lo cuál está correcto.
- pero recordemos que la derivada de una constante es cero, entonces podría pensarse que la primitiva no es sólo[pic], sino ,podría ser [pic].
- como pueden ser muchas posibilidades para C, se tiene un conjunto o familia de funciones.
a esta familia se le reúne mediante una operación llamada integración cuyo símbolo es [pic].

▪ la solución de una ecuación diferencial es una familia de funciones.

▪ la integración es una operación inversa de la derivación, por eso es llamada antiderivada y seexpresa mediante el Teorema fundamental del cálculo integral como:

[pic]

▪ la integración de las funciones derivadas = función primitiva + C

▪ f(x) se llama integrando.

▪ dx es el elemento de integración o diferencial.

▪ todas las funciones f(x) no tienen primitiva.

▪ si f(x) es continua tiene primitiva y [pic]indefinida.

▪ el proceso que permite hallar una funciónprimitiva de f(x) se llama integración.

▪ siempre hay que fijarse que el argumento del diferencial sea el mismo que el argumento de la función a integrar.

▪ si no es así, hay que completar amplificando sin involucrar la variable.

▪ las integrales pueden ser de dos tipos; integrales definidas e integrales indefinidas.

▪ para aprender esta operación es conveniente comenzar con elestudio de las integrales indefinidas.

▪ existen varios métodos de integración siendo lo más recurrentes;

a. método de simple inspección.
b. Método de sustitución de variable auxiliar.
c. Método de integración por parte.
d. Método de sustitución trigonométrica.
e. Método de fracciones parciales.
INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES

1. Hallar el área que limita al eje X,...
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