varios
Páginas: 5 (1224 palabras)
Publicado: 27 de noviembre de 2014
Intervalo (matemática)
Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa)1 es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real \R, es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.
Caracterización
Un intervalo real I es una parte de \Rque verifica la siguiente propiedad:
Si x e y pertenecen a I con x \le y, entonces para todo z tal que x \le z \le y, se tiene que z pertenece a I
Notación
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalo abierto
Intervaloreal 01.svg
No incluye los extremos.
(a,b)\ o bien ]a,b[\
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
I = (a,b), \quad \forall x \in I: \quad a < x < b
En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo abiertopara definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].3 No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo, de suma importancia en asuntos de límites defunciones.4
Intervalo cerrado
Intervalo real 04.svg
Sí incluye los extremos.
Que se indica: I = [a,b]\
En notación conjuntista:
I = [a,b], \quad \forall x \in I: \quad a \le x \le b
Si incluye únicamente uno de los extremos.
Intervalo real 03.svg
Con la notación (a,b]\ o bien ]a,b]\ indicamos.
En notación conjuntista:
I = (a,b], \quad \forall x \in I:\quad a < x \le b
Intervalo real 02.svg
Y con la notación [a,b)\ o bien [a,b[\ ,
En notación conjuntista:
I = [a,b), \quad \forall x \in I: \quad a \le x < b
Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudios de diferentesconceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.5 Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la función signo, etc.6
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b cona < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.7
Intervalo infinito
Incluye un extremo e infinito por la derecha.
Intervalo real 06.svg
Con la notación [a,\infty)\ indicamos.
En notación conjuntista:
I = [a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a \le x
Sin incluir el extremo:
Intervalo real 05.svg
Y con la notación (a,\infty) ,
I =(a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a < x
Incluye un extremo e infinito por la izquierda.
Intervalo real 08.svg
Con la notación (-\infty, a]\ indicamos.
En notación conjuntista:
I = (-\infty, a], \quad \forall x \in I: \quad x \le a
Sin incluir el extremo:
Intervalo real 07.svg
Y con la notación (-\infty,a) ,
En notación conjuntista:
I =(-\infty,a), \quad \forall x \in I: \quad x < a
Para todo valor real:
Intervalo real 09.svg
Y con la notación (-\infty,\infty) ,
En notación conjuntista:
I = (-\infty,\infty), \quad \forall x \in R
Familia de intervalos
Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:
A = \{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}
Esto se lee: A son todos los x...
Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa)1 es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real \R, es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.
Caracterización
Un intervalo real I es una parte de \Rque verifica la siguiente propiedad:
Si x e y pertenecen a I con x \le y, entonces para todo z tal que x \le z \le y, se tiene que z pertenece a I
Notación
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalo abierto
Intervaloreal 01.svg
No incluye los extremos.
(a,b)\ o bien ]a,b[\
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
I = (a,b), \quad \forall x \in I: \quad a < x < b
En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo abiertopara definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].3 No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo, de suma importancia en asuntos de límites defunciones.4
Intervalo cerrado
Intervalo real 04.svg
Sí incluye los extremos.
Que se indica: I = [a,b]\
En notación conjuntista:
I = [a,b], \quad \forall x \in I: \quad a \le x \le b
Si incluye únicamente uno de los extremos.
Intervalo real 03.svg
Con la notación (a,b]\ o bien ]a,b]\ indicamos.
En notación conjuntista:
I = (a,b], \quad \forall x \in I:\quad a < x \le b
Intervalo real 02.svg
Y con la notación [a,b)\ o bien [a,b[\ ,
En notación conjuntista:
I = [a,b), \quad \forall x \in I: \quad a \le x < b
Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudios de diferentesconceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.5 Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la función signo, etc.6
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b cona < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.7
Intervalo infinito
Incluye un extremo e infinito por la derecha.
Intervalo real 06.svg
Con la notación [a,\infty)\ indicamos.
En notación conjuntista:
I = [a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a \le x
Sin incluir el extremo:
Intervalo real 05.svg
Y con la notación (a,\infty) ,
I =(a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a < x
Incluye un extremo e infinito por la izquierda.
Intervalo real 08.svg
Con la notación (-\infty, a]\ indicamos.
En notación conjuntista:
I = (-\infty, a], \quad \forall x \in I: \quad x \le a
Sin incluir el extremo:
Intervalo real 07.svg
Y con la notación (-\infty,a) ,
En notación conjuntista:
I =(-\infty,a), \quad \forall x \in I: \quad x < a
Para todo valor real:
Intervalo real 09.svg
Y con la notación (-\infty,\infty) ,
En notación conjuntista:
I = (-\infty,\infty), \quad \forall x \in R
Familia de intervalos
Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:
A = \{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}
Esto se lee: A son todos los x...
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