Vecindades

VECINDADES

INTRODUCCION

Sea  un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que  sea pseudodistancia). Sea un número real . Sea . Se define la bola abierta de centro  y radio  (o simplemente bola de centro  y radio ) como el conjunto .
Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es . A veces, si en el espacio existendistintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-distancia se está usando para definir el conjunto, utilizando esta notación: . En algunos textos se denota sin embargo por .
En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados se prefiere la notación  para denotar la bola abierta. Así,  denota a la bola de centro  y radio . La notación  se reserva para las bolascerradas (con el peligro de confusión que eso genera).
Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término, por lo que la bola de centro  y radio  coincide en esos casos con los puntos encerrados en el interior de una superficie esférica. En el caso particular del plano, la figura entonces obtenida (es decir, el conjunto ) es el disco (abierto) de centro  yradio , razón por la cual se denota por . Nótese que esta situación se da en particular en Variable Compleja, siendo entonces la notación  (donde  representa el módulo de ). Aunque no es estándar, sí es usual encontrar textos en los que  denota al disco de radio unidad centrado en el origen, i.e., .

DESARROLLO DEL TEMA
Vecindades
Ahora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindadde un
Punto en un espacio topológico.
.1 Definición. Sean X un espacio topológico y x ϵ X. Un subconjunto
V de X es una vecindad de x si existe un conjunto abierto A tal que x ϵ A
y A . Denotamos por V(x) el conjunto de todas las vecindades de x.
Nótese que un subconjunto A de un espacio topológico X es un conjunto
Abierto si y solo si A es vecindad de cada uno de sus puntos.
El siguienteresultado resume las propiedades más importantes de las

2 Proposición. Sea (X, r) un espacio topológico.
1. x ϵ V para cada V ϵ V(x).
2. Si U, V ϵ V(x) entonces U \ V ϵ V(x).
3. Si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cada
y ϵ V .
4. Si U ϵ V(x) y U _ V entonces V ϵ V(x).

Demostración.
1. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición deVecindad.
2. Si A, B ϵ r, x ϵ A, x ϵ B, A c U y B c V entonces A ∩ B ϵ r,
X ϵ A ∩ B y A ∩ B c U ∩ V.
3 Puesto que U ϵ V(x) existe V ϵ r tal que x ϵ V k y V c U. Entonces paracada y V, U ϵ V(y).
4. Si A ϵ r es tal que x ϵ A y A c Uentonces también A c V y
Así V ϵ V(x).
3Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ϵ X se ha asignado
Una colección V(x) de subconjuntos de X tal que:
1. x 2 V para cada V ϵ V(x),
2. si U, V ϵ V(x) entonces U ∩ V ϵ V(x),
3. si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cada
y ϵ V ,
4. si U ϵ V(x) y U c V entonces V ϵ V(x),

Entonces existe una topología sobre Xtal que para cada x ϵ X la colección
V(x) es precisamente la colección de vecindades de x.

Demostración. Diremos que un conjunto A c X es “abierto” si para cada
x ϵ A existe V ϵ V(x) tal que V c A. Demostraremos ahora que la colección
De conjuntos “abiertos” es una topología sobre X y que la colección de
Vecindades de cada x ϵ X es V(x).

1. Es inmediato que Ø y X son conjuntos...